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第35课 数列知识结构
一、目标导引
1．古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，……这样的数称为“三角形数”；类似地，把1，4，9，16……这样的数称为“正方形数”。请写出三角形数及正方形数构成的数列的一个通项公式及递推公式。
2．下图的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在所给四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式及递推公式。
3．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由（）给出。
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，写出数列的前5项。
2．四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1，3，9，27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，所以，这个数列的一个通项公式是；一个递推公式是（）。
二、知识梳理
对象 等差数列 等比数列
概念
表示 通项公式
前n项和
分类 递增
常数列
递减
摆动
性质 下标和
中项公式
子数列
运算
应用（联系）
三、问题研讨
问题1：数列的递推公式
例题1．数列中，若，，则　　
A．29 B．2563 C．2569 D．2557
例题2：（2014年全国2文16）
数列满足，，则 。
问题2：递推公式的应用
例题3：（2016年全国3文17）
已知各项都为正数的数列满足。
（1）求；
（2）求的通项公式。
例题4：已知数列满足，且，求数列的通项公式．
四、总结提升
1、在对数列知识的整理过程中，我们经历了“概念——表示——分类——性质——应用”的过程，并对等差与等比数列的相关知识作了梳理与比较。
2、数列的递推公式是数列的重要内容之一，其解题方法一般是特殊化方法，即通过考察数列的前几项，寻找规律，发现一般规律，不仅在解决具体问题中可以得到正确的结论，而且用于检验结论是否正确也有重要作用。
五、即时检测
1、已知数列中，，，则 。
2、在数列1，2，，中，是这个数列的　　
A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项
第35课 数列知识结构
一、目标导引
1．古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，……这样的数称为“三角形数”；类似地，把1，4，9，16……这样的数称为“正方形数”。请写出三角形数及正方形数构成的数列的一个通项公式及递推公式。
2．下图的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在所给四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式及递推公式。
3．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由（）给出。
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，写出数列的前5项。
解：1．三角形数：，（）；
四边形数：，（）。
2．四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1，3，9，27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，所以，这个数列的一个通项公式是；一个递推公式是（）。
3．（1）1，2，3，5，8；（2）2，，，，。
说明：本题数列是由简单递推公式给出的数列，数列是由数列构造生成的。教学中要注意引导学生对这两种数列的规律和关系的认识和发现，鼓励学生尽可能说出各种可能的猜想，如数列的各项的乘积是1，前项的分子是后项的分母，前项分子与分母之和是后项的分母等。
二、知识梳理
对象 等差数列 等比数列
概念 （）
表示 通项公式
前n项和
分类 递增 或
常数列
递减 或
摆动
性质 下标和
中项公式 等差中项： 等比中项：
子数列 成等差 成等差 成等比 成等比
运算 ，为等差数列 ，为等比数列
应用（联系） （一次函数） （二次函数，过原点） 指数函数
三、问题研讨
问题1：数列的递推公式
例题1．数列中，若，，则　　
A．29 B．2563 C．2569 D．2557
分析：利用数列的递推关系式，推出是等比数列，求出通项公式，即可求解．
解答：解：数列中，若，，
可得，是等比数列，公比为2，首项为5，
所以，
．
故选：．
提炼：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，考查转化思想以及计算能力．
例题2：（2014年全国2文16）
数列满足，，则 。
解答：由特殊化方法求得，所以是周期为3的周期数列，于是。
提炼：特殊化方法的应用，由后往前推。
问题2：递推公式的应用
例题3：（2016年全国3文17）
已知各项都为正数的数列满足。
（1）求；
（2）求的通项公式。
解答：（1）取，得，
取，得；
（2）由，
因为，所以，所以数列是公比为的等比数列，
所以。
提炼：在解答题中应用特殊化方法求数列的前几项。
例题4：已知数列满足，且，求数列的通项公式．
解：
（常数）
是首项为2，公比为3的等比数列，
．
提练：形如均可用构造等比数列，即，其中，求数列的通项公式。
四、总结提升
1、在对数列知识的整理过程中，我们经历了“概念——表示——分类——性质——应用”的过程，并对等差与等比数列的相关知识作了梳理与比较。
2、数列的递推公式是数列的重要内容之一，其解题方法一般是特殊化方法，即通过考察数列的前几项，寻找规律，发现一般规律，不仅在解决具体问题中可以得到正确的结论，而且用于检验结论是否正确也有重要作用。
五、即时检测
1、已知数列中，，，则 。
答案：
2、在数列1，2，，中，是这个数列的　　
A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项
【解答】解：数列1，2，，就是数列，，，，，，，
，，
故是这个数列的第26项，
故选：．

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