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第36课 等差数列与等比数列
一、目标导引
在数列中，，.
（1）若是等差数列，求通项公式；
（2）若是等比数列，求通项公式.
二、知识梳理
等差数列 等比数列
判定方法
通项公式
前项和
三、问题研讨
问题1：等差数列的判定
已知数列满足，其前项和为，当时，，，成等差数列
（1）求证为等差数列；
（2）若，，求．
问题2：等比数列的判定
例题2：设数列的前项和为，已知，.
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
问题3：基本量法
例题3： (1)已知为等差数列，为其前项和．若，则________.
(2)设等差数列的前项和为，，则________.
例题4：（2016年全国3理17）已知数列的前n项和，其中.
（1）证明是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求.
四、归纳总结
等差、等比数列的判定方法有两种，定义法和中项公式，若给的是通项公式或前n项和公式，也应用定义法来判定.
等差数列中，已知中的三个条件，可以求出另两个值（即知三求二）；等比数列中，已知中的三个条件，可以求出另两个值，这就是基本量法，其解题方法一般是应用通项公式及前n项和公式列出关于的方程组，再解方程组.对于等差数列，一般用两个方程相减求解，等比数列则把两个方程相除.
五、即时检测
1.（2019全国1理9）记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
第36课 等差数列与等比数列
一、目标导引
在数列中，，.
（1）若是等差数列，求通项公式；
（2）若是等比数列，求通项公式.
解：（1）∵是等差数列，设其公差为，
则有，
∴数列的通项公式为.
（2）∵是等比数列，设其公比为，
则有，相除得，
解得或，
当时，，数列的通项公式为；
当时，，
数列的通项公式为.
提炼：比较在等差与等比数列的条件下应用公式及解题方法的差异，并由此引出等差等比数列的通项公式及前n项和公式.
二、知识梳理
等差数列 等比数列
判定方法 定义法： 中项公式： 定义法： 中项公式：
通项公式
前项和 ，
三、问题研讨
问题1：等差数列的判定
已知数列满足，其前项和为，当时，，，成等差数列
（1）求证为等差数列；
（2）若，，求．
解析：（1）证明：根据题意，当时，，，成等差数列，则，变形可得：，
即，则数列是公差为1的等差数列；
（2）由（1）的结论，数列是公差为1的等差数列，则，
又由，，则，则有，①
又由，可得，变形可得，②
联立①②可得：．
【提练】本题考查等差数列的性质的应用，涉及等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
问题2：等比数列的判定
例题2：设数列的前项和为，已知，.
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
(1)证明：由及，得
.
∴，∴.
又
得，
∴．
∵，，
故是首项，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知，，，
故是首项为，公差为的等差数列．
，
化简，得.
提炼：利用定义法证明数列是等比数列.
问题3：基本量法
例题3： (1)已知为等差数列，为其前项和．若，则________.
(2)设等差数列的前项和为，，则________.
解析　(1) .
又.
.
(2)设数列的首项为，公差为，由，
，可得解得
即.
答案　(1)6　(2)30
例题4：（2016年全国3理17）已知数列的前n项和，其中.
（1）证明是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求.
解：（1）当时，，所以，；
当时，，
所以数列是公比为的等比数列，所以.
（2）由（1）得，
所以.
提炼：综合前n项和，等比数列的判定及基本量法解决问题.
四、归纳总结
等差、等比数列的判定方法有两种，定义法和中项公式，若给的是通项公式或前n项和公式，也应用定义法来判定.
等差数列中，已知中的三个条件，可以求出另两个值（即知三求二）；等比数列中，已知中的三个条件，可以求出另两个值，这就是基本量法，其解题方法一般是应用通项公式及前n项和公式列出关于的方程组，再解方程组.对于等差数列，一般用两个方程相减求解，等比数列则把两个方程相除.
五、即时检测
1.（2019全国1理9）记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
1.解析：设等差数列的公差为，由，
得，解得，
所以，故选A．

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