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第37课 等差等比数列综合问题
一、目标导引
（课本P61习题）已知是等比数列的前n项和，成等差数列，求证成等差数列.
二、知识梳理
1、等差、等比数列的性质：
对象 等差数列 等比数列
性质 下标和
中项公式
子数列
运算
2、迭加、迭乘法：
迭加法：适应题型：——；
迭乘法：适应题型：——.
三、问题研讨
问题1：数列的基本性质
例题1：设是等差数列的前项和，若，则________.
问题2：等差、等比数列综合问题
例题2：等差数列中，是其前项和，，则 (　　)
A．0　　 B．－9 C．10　　 D．－10
例题3：（2019全国3理5）
已知各项均为正数的等比数列的前4项为和为15，且，则（ ）
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
问题3：迭加迭乘法
例题4：（2014年大纲卷文17）数列满足.
（1）设，证明是等差数列；
（2）求的通项公式.
四、归纳总结
应用数列的基本性质解题可达到快速的效果，用基本量法也可以解决问题.
三项成等差或等比数列，可利用中项公式（等差中项、等比中项）来解题.
对于迭加或迭乘法的问题，应记住其式子的结构特征，在相关问题中能做出快速判断.
五、即时检测
已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求.
第37课 等差等比数列综合问题
一、目标导引
（课本P61习题）已知是等比数列的前n项和，成等差数列，求证成等差数列.
证明：因为成等差数列，所以公比，且，即
，于是，即，
上式两边同乘以，得，即，所以成等差数列.
提炼：利用中项公式证明等差数列.
二、知识梳理
1、等差、等比数列的性质：
对象 等差数列 等比数列
性质 下标和
中项公式 等差中项： 等比中项：
子数列 成等差 成等差 成等比 成等比
运算 ，为等差数列 ，为等比数列
2、迭加、迭乘法：
迭加法：适应题型：——；
迭乘法：适应题型：——.
三、问题研讨
问题1：数列的基本性质
例题1：设是等差数列的前项和，若，则________.
解：∵为等差数列，∴，由得，则，∴
提炼：等差数列的下标和性质.
问题2：等差、等比数列综合问题
例题2：等差数列中，是其前项和，，则 (　　)
A．0　　 B．－9 C．10　　 D．－10
[答案]　A
[解析]　因为是等差数列，且公差为，故，故选A.
例题3：（2019全国3理5）
已知各项均为正数的等比数列的前4项为和为15，且，则（ ）
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
解析：设等比数列的公比为，则由前4项和为，且，有，解得：，所以，故选C
问题3：迭加迭乘法
例题4：（2014年大纲卷文17）数列满足.
（1）设，证明是等差数列；
（2）求的通项公式.
解：（1）由得，
因为，所以，所以是公差为2的等差数列.
（2），由（1）得，即，
所以，
所以.
提炼：对数列的递推公式进行变形是解决的关键，第（1）问已经给出提示，但这是学生化简的弱点，尤其是普通学生，他们常常会找不到思路，因此本例中可让学生自己解决第（1）问，并谈解题思路.
四、归纳总结
应用数列的基本性质解题可达到快速的效果，用基本量法也可以解决问题.
三项成等差或等比数列，可利用中项公式（等差中项、等比中项）来解题.
对于迭加或迭乘法的问题，应记住其式子的结构特征，在相关问题中能做出快速判断.
五、即时检测
已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求.
解：由题意得，
因为，所以，所以.
（2）.

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