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第38课 数列的前n项和
一、目标导引
已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？如果呢？
二、知识梳理
1、数列的前n项和与通项公式的关系：。
2、数列最值问题：
（1）等差数列前n项和的最值：可看作是关于n的二次函数——利用二次函数最值的求解方法，注意n取整数的调整。
（2）数列的特殊方法：最大值——；最小值——；求出满足条件的相应的n值。
（3）利用函数的最值——数列可看作是关于n的函数。
三、问题研讨
问题1：与的关系
例题1：（2018年全国1理14）
记为数列的前n项和，若，则 。
例题2：（2016年福建省质检理15）若数列的各项均为正数，前n项和为，且，（），则 。
问题2：与关系的应用
例题3：（2017年全国3文17）设数列满足。
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和。
问题三：等差数列前n项和的最值
例题4：（2018年全国2理17文17）
记为等差数列的前n项和，已知。
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值。
问题四：数列最值问题
例题5：（2019北京理10）
设等差数列的前n项和为，若,则 ________ . 的最小值为_______.
四、归纳总结
数列通项公式与前n项和公式的关系是数列的重点题型，消去是更为重要的方法，对各种题型及其变形都应十分熟练，并应熟练掌握解题的一般步骤。
应熟练掌握等差数列前n项和的最值问题的求解方法，并相应关注用数列的方法及函数的方法解决有关最值问题。
五、即时检测
1.（2019全国3理14）记为等差数列的前项和，，则 ___________.
第38课 数列的前n项和
一、目标导引
已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？如果呢？
解：当时，；
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为；
由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。
若，则；数列不是等差数列。
提炼：如果一个数列的前n项和为，其中为常数，且，那么，当时，这个数列是等差数列，它的首项是，公差是；
当时，这个数列从第二项起是等差数列。
二、知识梳理
1、数列的前n项和与通项公式的关系：。
解题方法：（1）消；（2）消。
解题步骤：（1）当时，；（2）当时，；（3）验证（是否能合并：等于0，回到大家庭）。
2、数列最值问题：
（1）等差数列前n项和的最值：可看作是关于n的二次函数——利用二次函数最值的求解方法，注意n取整数的调整。
（2）数列的特殊方法：最大值——；最小值——；求出满足条件的相应的n值。
（3）利用函数的最值——数列可看作是关于n的函数。
三、问题研讨
问题1：与的关系
例题1：（2018年全国1理14）
记为数列的前n项和，若，则 。
解：当时，；
当时，，所以是公比为2的等比数列，所以。
提炼：本例用于巩固由求的一般步骤，形成规范解题；还可以引导学生由特殊化方法，求出数列的前几项，再猜想其通项公式，从而求得前6项的和；另外，本题还可以消去，得到的递推公式：，再由特殊化方法求。
例题2：（2016年福建省质检理15）若数列的各项均为正数，前n项和为，且，（），则 。
解：因为，所以，所以为等差数列，，所以，所以。
提炼：本题也可以用特殊化方法求出数列的前几项，再猜想其通项公式。本题若要消去得到的递推公式，较难发现其等差或等比关系，因此本题应该留给学生足够的思考时间，让他们比较例题1的方法，再自主发现解题思路。
问题2：与关系的应用
例题3：（2017年全国3文17）设数列满足。
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和。
解：（1）当时，，
所以，
当时，满足上式，所以。
（2），
所以前n项和。
提炼：设，本题的条件为，便是与关系的问题，本题的重点是引导学生发现这种关系，并能在具体的问题中进行应用。
问题三：等差数列前n项和的最值
例题4：（2018年全国2理17文17）
记为等差数列的前n项和，已知。
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值。
解：（1）设的公差为d，所以，
所以。
（2）由（1）得，
，所以当时，的最小值为。
提炼：等差数列的前n项和公式可以写成，所以可以看成函数当时的函数值。另一方面，容易知道关于n的图象是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求的最值。
问题四：数列最值问题
例题5：（2019北京理10）
设等差数列的前n项和为，若,则 ________ . 的最小值为_______.
解析：由题意得，，解得.
所以.
因为是一个递增数列，且，
所以的最小值为或，.
四、归纳总结
数列通项公式与前n项和公式的关系是数列的重点题型，消去是更为重要的方法，对各种题型及其变形都应十分熟练，并应熟练掌握解题的一般步骤。
应熟练掌握等差数列前n项和的最值问题的求解方法，并相应关注用数列的方法及函数的方法解决有关最值问题。
五、即时检测
1.（2019全国3理14）记为等差数列的前项和，，则 ___________.
解析：设等差数列的公差为，则由，可得，，
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