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第39课 数列求和（1）
一、目标导引
（课本P47习题）数列的前n项和，研究一下，能否找到求的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗？
二、知识梳理
1．等差、等比数列的前项和公式：
等差数列 等比数列
前项和公式
公式 推导 适用
方法
过程
2．一些常见数列的前项和：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） .
三、问题研讨
问题1：分组求和
例题1：求数列1，，，…，的所有项的和．
问题2：倒序相加法
例题2：求的值.
问题3：裂项相消法
例题3：为数列的前项和．已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
问题4：差比数列
例题4：（2007年全国卷2理21（1））
设数列的首项，，n=2，3，4，…，求的通项公式.
四、归纳总结
数列求和的方法：
一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
求和时应注意的问题：
（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．
（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．
（3）含有字母参数的数列求和，常伴随着分类讨论.
五、即时检测
（2013年全国卷1文17）已知等差数列的前n项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
第39课 数列求和（1）
一、目标导引
（课本P47习题）数列的前n项和，研究一下，能否找到求的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗？
解：数列的通项公式为，
∴.
类似地，我们可以求出通项公式为的数列的前n项和.
提炼：若为公差的等差数列且，则有，该种类型的问题可用裂项相消求和.
二、知识梳理
1．等差、等比数列的前项和公式：
等差数列 等比数列
前项和公式
公式 推导 适用 与首末两项等距离的两项之和为常数 一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列
方法 倒序相加法 乘比错位相减法（错位相减，消除差异）
过程 倒序 相加 乘以公比，错位写： 相减
2．一些常见数列的前项和：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） .
答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）.
三、问题研讨
问题1：分组求和
例题1：求数列1，，，…，的所有项的和．
解：设
=
问题2：倒序相加法
例题2：求的值.
解：设--------①
将①式右边反序得
----------------②
又∵，①+②得
∴.
提炼：，符合倒序相加的性质；这方面的问题在三角函数的化简中比较常见，如，
再如可用倒序相乘法.
问题3：裂项相消法
例题3：为数列的前项和．已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解　（1）由，
可知.
可得，
即．
由于，可得.
又，解得 (舍去)或.
所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为.
（2）由可知
.
设数列的前项和为，则
.
问题4：差比数列
例题4：（2007年全国卷2理21（1））
设数列的首项，，n=2，3，4，…，求的通项公式.
解：（1），∴，得，
∴数列是一个首项为，公比为的等比数列，
∴.
提炼：称满足递推关系的数列为差比数列.
当时，为常数列；
当时，为等差数列；
当时，为等比数列；
当时，为公比为q的等比数列，其中，（可用待定系数法求）.
本题还可拓展为，两边同除以，可变形为，则可用迭加法求.
四、归纳总结
数列求和的方法：
一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
求和时应注意的问题：
（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．
（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．
（3）含有字母参数的数列求和，常伴随着分类讨论.
五、即时检测
（2013年全国卷1文17）已知等差数列的前n项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
解：（1）设的公差为d，则，由已知可得
解得，故的通项公式为.
（2）由（1）知，
从而数列的前项和为.

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