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第40课 数列求和（2）
一、目标导引
问题：求和。
二、知识梳理
乘比错位相减法——错位相减，消除差别
适用题型：等差与等比数列相乘。
解题步骤：（1）写，（2）乘以公比，（3）错位写，（4）对应项相减，（5）化简。
三、问题研讨
问题1：乘比错位相减法
例题1：已知数列前项和为，且．
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
问题2：比较大小
例题2：已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列的前项和为，求证：．
问题3：数列不等式
例题3：（2014年全国2理17）已知数列满足。
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：。
四、归纳总结
乘比错位相减法的解题过程有具体的方法程序，其困难之处在于化简，“错位相减，消除差别”是解题的核心思想，求得答案后，应通过特殊化方法进行验证（取前几个值）。
放缩法证明数列不等式，一般是放缩成可裂项相消求和，或放缩为等比数列求和。
五、即时检测
1. ________.
第40课 数列求和（2）
一、目标导引
问题：求和。
解：，
相减得，
当时，；
当时，。
提炼：本题是乘比错位相减法的典型例题，学生容易忽略讨论的情形。
二、知识梳理
乘比错位相减法——错位相减，消除差别
适用题型：等差与等比数列相乘。
解题步骤：（1）写，（2）乘以公比，（3）错位写，（4）对应项相减，（5）化简。
三、问题研讨
问题1：乘比错位相减法
例题1：已知数列前项和为，且．
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）当时，，所以，
当时，，
所以，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，
所以（1）
（2）
（1）（2）得：
，
所以．
问题2：比较大小
例题2：已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列的前项和为，求证：．
解：（1）设数列的公差为，
由题意知：，
解得，．
所以．
（2）由（1），，
则有．
则．
所以，
．
问题3：数列不等式
例题3：（2014年全国2理17）已知数列满足。
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：。
解：（1）由得，又，
所以是首项为，公比为3的等比数列，，
因此的通项公式为。
（2）由（1）知，因为当时，，所以，
于是，所以。
提炼：第（1）问通过构造是等比数列来求数列的通项，题设已作了明显的暗示；第（2）问将数列的每一项放大，从而利用等比数列求和公式证得不等式。一般情况下，放缩的目标是可裂项相消或等比数列，这样便于数列求和；本题中比较容易想到放缩为等比数列，但是利用放大不是那么明显，而是不断调整而得，讲授时切忌直接把结论给学生，应引导学生分析具体的放缩过程。
四、归纳总结
乘比错位相减法的解题过程有具体的方法程序，其困难之处在于化简，“错位相减，消除差别”是解题的核心思想，求得答案后，应通过特殊化方法进行验证（取前几个值）。
放缩法证明数列不等式，一般是放缩成可裂项相消求和，或放缩为等比数列求和。
五、即时检测
1. ________.
解：设，
则.
两式相减得.
∴
.
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