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第28课 正弦定理与余弦定理
一、目标导引
1.（2019浙江14）在中，，，，点在线段上，
若，则____.
2．在中，已知，，，求．
同学们在解决以上两个问题时用到了什么知识点？
二、知识梳理
解三角形知识框架的横向沟通：正弦定理和余弦定理．
提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系．
引导学生根据数学原理研究的一般套路，思考表格横向项目与纵向项目的确定．
正弦定理 余弦定理
文字语言
符号语言
证明方法
公式变形
应用
过程中核心问题推进：
问题1：从公式的表达形式上看，这两者之间有什么区别和联系？
问题2：除了文字语言、符号语言，我们还能从哪些方面对数学公式（原理）进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来．
问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？
问题4：除边与角外，与三角形有关的量还有哪些？三角形面积公式
已知条件 面积公式
一边和这条边上的高
两边夹角
三边
三边及内切圆半径或外接圆半径
三、问题研讨
问题1正弦定理、余弦定理的简单应用
例1 A：（2018年全国卷1 理科）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
　　
　　例1B：（2019届泉州质检）在中，已知.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面积.
[方法归纳]　
1.解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到.
2.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
问题2：判断三角形的形状
例题2A：在中，若，则的形状是（ ）．
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
例题2B:在中，若，则的形状是（ ）．
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
例题2C：若的三个内角满足，则（ ）
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形
C. 一定是直角三角形 D. 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形
[方法归纳]
1.三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等；
2.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别；
3.边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理
化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；常见结论有
①若，则；
②若，则；或.
化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用
这个结论．
问题3：综合应用
例题3A：的内角的对边分别是，已知 ， ， ，则的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
例题3B: 的内角的对边分别是，已知
,，则的面积为________．
[方法归纳]
三角形的面积常与正、余弦定理结合在一起考查，解题时要注意常见的变形如边、角互换，和形如整体代换的应用.
四、总结提升
1.三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
（4）在解决三角形问题中，用面积公式，结合正弦定理、余弦定理和三角形中的边、角联系起来.
组织学生回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？
五、即时检测
　　1.的内角，，所对的边分别为，，.已知，，，则（ ）
A. B. C.2 D.3
　　2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=________.
第28课 正弦定理与余弦定理
一、目标导引
1.（2019浙江14）在中，，，，点在线段上，若，则____.
答案：；
解析：在中，，，，，
在中，，
可得.
2．在中，已知，，，求．
答案：．
同学们在解决以上两个问题时用到了什么知识点？
二、知识梳理
解三角形知识框架的横向沟通：正弦定理和余弦定理．
提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系．
引导学生根据数学原理研究的一般套路，思考表格横向项目与纵向项目的确定．
正弦定理 余弦定理
文字语言
符号语言
证明方法
公式变形
应用
过程中核心问题推进：
问题1：从公式的表达形式上看，这两者之间有什么区别和联系？
问题2：除了文字语言、符号语言，我们还能从哪些方面对数学公式（原理）进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来．
问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？
预设：
正弦定理 余弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
符号语言 在中，（）（R是△ABC外接圆的半径） 在中，，，．
证明方法 锐角三角函数的定义；向量法；勾股定理；三角形外接圆性质 向量法；勾股定理；
公式变形 ①，，；②；③，，． ，，
应用 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角． ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
问题4：除边与角外，与三角形有关的量还有哪些？三角形面积公式
已知条件 面积公式
一边和这条边上的高
两边夹角
三边
三边及内切圆半径或外接圆半径
预设：
已知条件 面积公式
一边和这条边上的高 （其中分别为边上的高）
两边夹角 正弦面积公式：
三边 海伦公式：（其中）
三边及内切圆半径或外接圆半径 （其中为内切圆半径，R为外接圆半径）
三、问题研讨
问题1正弦定理、余弦定理的简单应用
例1 A：（2018年全国卷1 理科）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
解析：（1）在中，由正弦定理得 .
即
所以
由题设知，，所以.
（2）由题设及（1）知，
在中，由余弦定理得
所以.
例1B：（2019届泉州质检）在中，已知.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面积.
解析：（1）由，得，
又，所以，
从而，则．
（2）因为，，，由正弦定理得，
　　　　　所以．
　　　　 又，
　　　 　则．
[方法归纳]　
1.解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到.
2.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
问题2：判断三角形的形状
例题2A：在中，若，则的形状是（ ）．
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
答案：B
解析：由正弦定理：，故有，
∵，
∴.是钝角三角形.
例题2B:在中，若，则的形状是（ ）．
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
答案：A
解析：由正弦定理，，代入得
即
故，
所以三角形为等腰三角形．
例题2C：若的三个内角满足，则（ ）
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形
C. 一定是直角三角形 D. 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形
解析：∵
由正弦定理可设 ，
再由余弦定理可得
.
∴角C是钝角．
[方法归纳]
1.三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等；
2.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别；
3.边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理
化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；常见结论有
①若，则；
②若，则；或.
化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用
这个结论．
问题3：综合应用
例题3A：的内角的对边分别是，已知 ， ， ，则的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
答案：A
解析：由，结合正弦定理
得，即，
则，，得
所以 ．
例题3B: 的内角的对边分别是，已知
,，则的面积为________．
答案：
解析：∵
结合正弦定理，，
∴
即
又因为
利用余弦定理
得
∴为锐角，且，从而求得，
∴的面积为
[方法归纳]
三角形的面积常与正、余弦定理结合在一起考查，解题时要注意常见的变形如边、角互换，和形如整体代换的应用.
四、总结提升
1.三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
（4）在解决三角形问题中，用面积公式，结合正弦定理、余弦定理和三角形中的边、角联系起来.
组织学生回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？
五、即时检测
　　1.的内角，，所对的边分别为，，.已知，，，则（ ）
A. B. C.2 D.3
答案：D
　　2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=________.
答案：
解析：∵ ，且为三角形内角，
∴ ，
，
又∵ ，
∴.

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