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第29课 解三角形
一、目标导引
1．如图，测量员在水平线上点处测量得一塔塔顶仰角为，当他前进到达点处测塔顶仰角为 ,则塔高为
2.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测得AC的距离为50，∠ACB = 45°，∠CAB = 105°．求A、B两点的距离．
二、知识梳理
1.实际应用中的常用术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度 例：(1)北偏东：(2)南偏西：
坡角 坡面与水平面的夹角 设坡角为 ，坡比度为 ，则
坡度 坡面与水平面所成的二面角度数
坡比 坡面的垂直高度和水平宽度的比
2．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
3．解三角形应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
三、问题研讨
问题1（角度问题）
例1：若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则A在点B的(　　)
A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°
　　例2．如图所示，某同学在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进 至点C处测得顶端A的仰角为，继续前进 至D点，测得顶端A的仰角为，测等于（ ）
A．5° 　　 B．10° 　 C．15° 　　 D．20°
[方法归纳]
　　与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，利用基本概念和相关定理去解决.
问题2（距离问题）
例题1A：一船以每小时的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（ ）
A. 　 B. 　 C. 　　　 D.
[方法归纳]
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：
（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；
（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
问题3（高度问题）
例题3A：在游学活动中，同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔，为了估算塔高，某同学在塔的正东方向选择某点处观察塔顶，其仰角约为，然后沿南偏西方向走了大约140米来到处，在处观察塔顶其仰角约为，由此估算出雷峰塔的高度为（ ）．
A. B. C. D.
例题3B：某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高．如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为，则山高约为______米．（在同一铅垂面）
参考数据：
例题3C：如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD = 15°，∠BDC = 30°，CD = 30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB．
[方法归纳]
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
问题4（综合问题）
例4A：某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（），墙的长度为米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记.
（1）若，求的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，的面积尽可能大，当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.
[方法归纳]
该题考查的是有关通过解三角形来解决实际问题的事例，在解题的过程中，注意应用正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得结果.
例4B：如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
[方法归纳]
本题主要考查解三角形的实际应用,以及应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式,考查三角函数的最值的求法.对于实际应用问题,首先将题目的已知条件标明在图象上,然后根据已知选择正弦定理或者余弦定理来解三角形.
四、总结提升
1.距离问题的类型及解法归纳：
(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．
(2)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．　
2．求解高度问题的注意事项：
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，并画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
3.解决测量角度问题的注意事项：
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
五、即时检测
1．（正弦定理）有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为（ ）
A．1 B．2sin 10° C．2cos 10° D．cos 20°
2．（余弦定理）如图，某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为（ ）
A． B． C．或 D．3
第29课 解三角形
一、目标导引
1．如图，测量员在水平线上点处测量得一塔塔顶仰角为，当他前进到达点处测塔顶仰角为 ,则塔高为
解：设塔高为，点处测量得一塔塔顶仰角为，点处测塔顶仰角为,
所以，
因为，所以，解得
．
2.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测得AC的距离为50，∠ACB = 45°，∠CAB = 105°．求A、B两点的距离．
解：
　　 由正弦定理得
．
二、知识梳理
1.实际应用中的常用术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度 例：(1)北偏东：(2)南偏西：
坡角 坡面与水平面的夹角 设坡角为 ，坡比度为 ，则
坡度 坡面与水平面所成的二面角度数
坡比 坡面的垂直高度和水平宽度的比
2．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
3．解三角形应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
三、问题研讨
问题1（角度问题）
例1：若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则A在点B的(　　)
A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°
答案：B
解析：∵由∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，
∴点A在点B的北偏西15°.故选B.
例2．如图所示，某同学在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进 至点C处测得顶端A的仰角为，继续前进 至D点，测得顶端A的仰角为，测等于（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
答案：Ｃ
解析：由题意知，，
设 ,则
所以
解得，即．
[方法归纳]
　　与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，利用基本概念和相关定理去解决.
问题2（距离问题）
例题1A：一船以每小时的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：画出图形如图所示，
在中，，，，
由正弦定理得
∴，
∴船与灯塔的距离为．
[方法归纳]
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：
（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；
（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
问题3（高度问题）
例题3A：在游学活动中，同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔，为了估算塔高，某同学在塔的正东方向选择某点处观察塔顶，其仰角约为，然后沿南偏西方向走了大约140米来到处，在处观察塔顶其仰角约为，由此估算出雷峰塔的高度为（ ）．
A. B. C. D.
解析：根据题意，建立数学模型，如图所示，
其中,,
设塔高为，则，，
在中，由余弦定理得：
即
化简得 ，解得
或（舍）
即雷峰塔的高度为．
例题3B：某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高．如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为，则山高约为______米．（在同一铅垂面）
参考数据：
例题3C：如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD = 15°，∠BDC = 30°，CD = 30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB．
解：在中，∠CBD = 180°－15°－30° = 135°，
由正弦定理，得，
∴．
在中，，
∴塔AB高为．
[方法归纳]
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
问题4（综合问题）
例4A：某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（），墙的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记.
（1）若，求的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，的面积尽可能大，当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.
解：（1）在中，由正弦定理可得，
∴,
的周长为米.
（2）在中，由余弦定理得
∴,,
∴
当且仅当时等号成立，此时为等边三角形
从而，的面积最大值为．
[方法归纳]
该题考查的是有关通过解三角形来解决实际问题的事例，在解题的过程中，注意应用正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得结果.
例4B：如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解析：由题意知海里，
在中，由正弦定理得
=（海里）
又
海里，
在中，由余弦定理得
=
30（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达D点需要1小时．
[方法归纳]
本题主要考查解三角形的实际应用,以及应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式,考查三角函数的最值的求法.对于实际应用问题,首先将题目的已知条件标明在图象上,然后根据已知选择正弦定理或者余弦定理来解三角形.
四、总结提升
1.距离问题的类型及解法归纳：
(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．
(2)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．　
2．求解高度问题的注意事项：
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，并画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
3.解决测量角度问题的注意事项：
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
五、即时检测
1．（正弦定理）有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为（ ）
A．1 B．2sin 10° C．2cos 10° D．cos 20°
答案：C
解析：如图，∠ABC = 20°，AB = 1，∠ADC = 10°，
∴∠ABD = 160°，
在△ABD中，由正弦定理得，
∴．
2．（余弦定理）如图，某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为（ ）
A． B． C．或 D．3
答案：C

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