资源简介

第31课 平面向量知识结构
一、目标导引
1．一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东走米到达点C，求这个人的路程与位移。它们有什么区别？
答：这个人的路程如图所示，其路程为米，位移为米，方向为北偏东．
2．思考向量的研究套路及学习结构．
二、知识梳理
类比数量与向量，进而理解平面向量的“数”与“形”及可从这两方面研究向量。
提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系。
引导学生根据数量与向量知识的相同内容，思考表格横向项目与纵向项目的确定。
数量 平面向量
过程中核心问题推进：
问题1：从概念上看，这两者之间有什么区别和联系？
问题2：除了概念，我们还能从哪些方面对平面向量进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来。
问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？
预设：
数量 平面向量
概念
表示
关系
运算
应用
学生填写表格的知识清单，归纳形成平面向量知识内容纵向和横向的框架体系。
组织学生独立观察、比较和思考，小组讨论交流平面向量知识的相关内容，并通过具体事例加以验证，沟通理论与实际的结构关联性。归纳总结出平面向量基本的研究套路。
学生参与互动、交流，陈述自己的观点，并在碰撞中进一步思考提升认识。
三、问题研讨
问题1：几个重要关系及运算
例题1：进一步梳理平面向量的几个重要关系及运算
填写下表：设，：
（1）关系：
关系 条件
向量与平行
向量与垂直
平面向量基本定理（基底思想）
（2）运算：
运算 加法 减法 数乘 数量积
定义
表示
法则
坐标
运算律
问题2：向量的有关概念（概念辨析，易错）
例题2：判断下列各命题是否正确：
（1）零向量没有方向； （2）若，则； （3）单位向量都相等； （4）两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
（5）两个相等向量若其起点相同，则终点也相同；
（6）若，，则； （7）若，，则；
（8）若四边形ABCD是平行四边形，则，．
问题3：平面向量基本定理
例题3（1）．在中，为边上的中线，为的中点，则=
A． B． C． D．
例题3（2）．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若（），则的值为 ．
问题4：平面向量的数量积及其应用
例4：（向量的模）（1）已知，，与的夹角为，那么（ ）
A． B． C． D．
（向量的模）（2）已知，是平面单位向量，且.若平面向量满足，则________.
课堂练习：
（向量的夹角）（1）若非零向量满足，且，则与的夹角为(　　)
A. B. C. D．
（向量的夹角）（2）已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则 ________.
四、总结提升
组织学生回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？
五、即时检测
1．（单位向量）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．　　 B． C． D．且
2．（平面向量的线性运算）在中， ，，若点 满足，则（ ）
A． B． C． D．
第31课 平面向量知识结构
一、目标导引
1．一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东走米到达点C，求这个人的路程与位移。它们有什么区别？
答：这个人的路程如图所示，其路程为米，位移为米，方向为北偏东。
2．思考向量的研究套路及学习结构。
二、知识梳理
类比数量与向量，进而理解平面向量的“数”与“形”及可从这两方面研究向量。
提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系。
引导学生根据数量与向量知识的相同内容，思考表格横向项目与纵向项目的确定。
数量 平面向量
过程中核心问题推进：
问题1：从概念上看，这两者之间有什么区别和联系？
问题2：除了概念，我们还能从哪些方面对平面向量进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来。
问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？
预设：
数量 平面向量
概念 数量：只有大小，没有方向的量 既有大小，又有方向的量相关概念：向量的模，零向量，单位向量
表示 实数，代数式，数轴 代数：坐标几何：有向线段
关系 相等关系：方程（等式）不等关系：不等式对应关系：函数 相等向量：长度相等且方向相同相反向量：长度相等且方向相反共线（平行）向量：方向相同或相反向量垂直：夹角是线性表示：（平面向量基本定理）
运算 加（减）乘（除）乘方（开方） 加法（减法）乘法：数乘，数量积
应用 平面几何，物理
学生填写表格的知识清单，归纳形成平面向量知识内容纵向和横向的框架体系。
组织学生独立观察、比较和思考，小组讨论交流平面向量知识的相关内容，并通过具体事例加以验证，沟通理论与实际的结构关联性。归纳总结出平面向量基本的研究套路。
学生参与互动、交流，陈述自己的观点，并在碰撞中进一步思考提升认识。
三、问题研讨
问题1：几个重要关系及运算
例题1：进一步梳理平面向量的几个重要关系及运算
填写下表：设，：
（1）关系：
关系 条件
向量与平行 （其中）
向量与垂直
平面向量基本定理（基底思想） 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。
（2）运算：
运算 加法 减法 数乘 数量积
定义 求两个向量和的运算 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 实数与向量的积 数量
表示
法则 三角形法则：位移平行四边形法则：力的合成 三角形法则 大小：方向：与时，同向；时，反向； 的长度与在的方向上的投影的乘积
坐标
运算律
问题2：向量的有关概念（概念辨析，易错）
例题2：判断下列各命题是否正确：
（1）零向量没有方向； （2）若，则； （3）单位向量都相等； （4）两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
（5）两个相等向量若其起点相同，则终点也相同；
（6）若，则； （7）若，则；
（8）若四边形ABCD是平行四边形，则。
答案：正确的命题的序号为（4）（5）（6）
问题3：平面向量基本定理
例题3A：(2018高考I）在中，为边上的中线，为的中点，则=
A． B． C． D．
答案：A
例题3B：如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若（），则的值为 。
解：过点作，，分别交，于点,如图。
由向量加法的平行四边形法则，有；
在中，，
，又，
∴，，，
∵，，，∴，，
∴，即，。
问题4：平面向量的数量积及其应用
例4：（向量的模）（1）已知，，与的夹角为，那么（ ）
A． B． C． D．
（向量的模）（2）已知是平面单位向量，且.若平面向量满足，则________.
答案：(1)　(2)
提示：（1）利用，展开后用数量积计算.
（2）利用数量积公式求解.
课堂练习：（向量的夹角）（1）若非零向量满足，且，则与的夹角为(　　)
A. B. C. D．
（向量的夹角）（2）已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则 ________.
答案： (1) 　(2)
解析： (1)由 ， 得，即.
又∵，设，即，
∴.
∴.又∵，∴.
(2)∵，
，
，
∴.
四、总结提升
组织学生回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？
五、即时检测
1． （单位向量）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．　　 B． C． D．且
答案：
2．（平面向量的线性运算）在中， ，，若点 满足，则（ ）
A． B． C． D．
答案：

展开更多......

收起↑