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第32课 向量法
一、目标导引
如图，已知平行六面体的底面是菱形，且，求证: ．
命题意图：本题如果从立体几何的一般想法解答本题，不论是用几何法还是用建立空间直角坐标系的方法都不易入手，本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，利用来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单．
证明：设，，
依题可得：，，
，．
二、知识梳理
组织学生独立观察、比较和思考，小组讨论交流用向量法解题的思维导图，建立起可操作的数学思维结构．
学生参与互动、交流，陈述自己的观点，并在碰撞中进一步思考提升认识．
预设：向量法解决问题的一般步骤：
步骤 内容 示例（以常规积累的问题为例）
确定基底
基底表示
代入转化
化简求值
作出解答
三、问题研讨
问题1：平面向量的线性运算及应用
例题1：已知两个不共线向量夹角为，且.若点在直线上，且的最小值为，则的值为 .
[方法技巧]
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较，观察可知所求．
问题2：平面向量的共线定理及应用
例题2：设两个非零向量和不共线．
(1)若，，．求证：三点共线．
(2)试确定实数，使和共线．
[方法技巧]
平面向量共线定理的三个应用
(1)证明向量共线：对于非零向量，若存在实数，使，则与 共线．
(2)证明三点共线：若存在实数，使，与有公共点，则三点共线．
(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
课堂练习1：已知是两个不共线的非零向量，且与起点相同．若，，三向量的终点在同一直线上，则________.
问题3：平面向量基本定理及应用（确立基底解决几何图形的问题）
例题3：设四边形ABCD为平行四边形，，．若点M，N满足，，则（ ）
A． B． C． D．
课堂练习2：如图，在平行四边形中，已知，，，则的值是 ．
[方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　
问题4：向量与其它知识点的交汇
例题4：在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为 ．
课堂练习3：已知中，，，，，，，则与的夹角是( )
A． B． C． D．或
四、总结提升
1．要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识。
2．向量运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想。
3．与三角形联系，求参数的值，求出向量的和或与已知条件中的和式比较，然后求参数．
4．与平行四边形联系，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
五、即时检测
已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
第32课 向量法
一、目标导引
如图，已知平行六面体的底面是菱形，且.求证: .
本题如果从立体几何的一般想法解答本题，不论是用几何法还是用建立空间直角坐标系的方法都不易入手，本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，利用来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.
证明：设，，
依题可得：，，
，.
二、知识梳理
组织学生独立观察、比较和思考，小组讨论交流用向量法解题的思维导图，建立起可操作的数学思维结构.
学生参与互动、交流，陈述自己的观点，并在碰撞中进一步思考提升认识.
预设：向量法解决问题的一般步骤：
步骤 内容 示例（以常规积累的问题为例）
确定基底 在平面的问题一般建立二维基底；空间的问题一般建立三维基底 空间向量问题基本建立三维基底，设
基底表示 把题目涉及有关的量用基底表示 ，
代入转化 代入题目给出的数量关系式，或几何意义转化的关系 要证，只要证
化简求值 通过计算求解，通过式子的几何性质求出解
作出解答 根据题目的要求进行转化，适当作答 ，即：
三、问题研讨
问题1：平面向量的线性运算及应用
例题1：已知两个不共线向量夹角为，且.若点在直线上，且的最小值为，则 的值为 .
答案：或. 提示：利用平行四边形法则作图，通过的运动变化，得到垂直时最小.
[方法技巧]
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较，观察可知所求．
问题2：平面向量的共线定理及应用
例题2：设两个非零向量和不共线．
(1)若，，．求证：三点共线．
(2)试确定实数，使和共线．
[解]　(1)证明：因为，，，
所以，所以共线．
又与有公共点，所以三点共线．
(2)因为与共线，
所以存在实数，使，即,解得.
即或时，与共线．
[方法技巧]
平面向量共线定理的三个应用
(1)证明向量共线：对于非零向量，若存在实数，使，则与 共线．
(2)证明三点共线：若存在实数，使，与有公共点，则三点共线．
(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
课堂练习1：已知是两个不共线的非零向量，且与 起点相同．若，，三向量的终点在同一直线上，则________.
答案：
问题3：平面向量基本定理及应用（确立基底解决几何图形的问题）
例题3：设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）
A． B． C． D．
答案： 提示：利用，确定点M，N，准确画出图形，以，为基底表示出，再运算.
课堂练习2：如图，在平行四边形中，已知， ，，则的值是 ．
答案：
[方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　
问题4：向量与其它知识点的交汇
例题4：在等腰梯形中，已知，动点 和分别在线段和上，且，则的最小值为 .
答案：
课堂练习3：已知中，，，，，，，则与的夹角是
A． B． C． D．或
答案：
四、总结提升
1．要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.
2．向量运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.
3．与三角形联系，求参数的值，求出向量的和或与已知条件中的和式比较，然后求参数．
4．与平行四边形联系，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
五、即时检测
已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
答案：
解析：非零向量与满足，即角的平分线垂直于，∴，又，，所以为等边三角形，选．

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