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第33课 坐标法
一、目标导引
已知是单位向量，。若向量满足，则的最大值为 ．
答案：
解析：建立如图所示的直角坐标系，由题意知，且与是单位向量，
∴可设，，，
∴，∵，
∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．而，∴的最大值为，即。
二、知识梳理
关于坐标法解题，你能根据向量法找出解题思维导图吗？
预设：坐标法解决问题的一般步骤
步骤 示例（以常规积累的问题为例）
建系 由是单位向量且可得，应当以所在的直线为轴建立直角坐标系
设点 ，，
代入 ，且
计算 计算得，化为求圆上的点到原点的距离最大值，由圆的相关知识可求
作答 答案：
三、问题研讨
问题1：平面向量的坐标运算
例题1：已知，，．设，，，且，，
(1)求；
(2)求满足的实数；
(3)求的坐标及向量的坐标．
解：由已知得．
(1) ．
(2)∵，
∴，解得，
即所求实数的值为，的值为.
(3)设为坐标原点，
∵，
∴，即．
又∵，
∴，即)．
∴．
问题2：平面向量共线的坐标表示
例题2：已知，．
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，，且三点共线，求的值．
解：(1)∵，，
∴，
，
∵与共线，∴，
∴.
(2) ，
．
∵三点共线，∴∥，∴，
∴.
问题3：坐标法在向量向图形转化中的运用
例题3：已知，若点是所在平面内一点，且，则 的最大值等于
A． B． C． D．
答案：
解析：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，即，
∴，，∴，
∵，∴，当且仅当时取得等号。
课堂练习1：在平面直角坐标系中，O为原点，，，，动点D满足，则的最大值是 。
答案：
问题4：坐标法在图形向数量转化中的运用
例题4：向量在正方形网格中的位置如图所示．若，，则 。
答案：
解析：以向量和的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，
令每个小正方形的边长为个单位，则，，，
所以，，．
由可得，解得，所以。
课堂练习2：如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．
答案：
解析：以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立直角坐标系，
则，，，．
设，由，
所以，。
四、总结提升
1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．
3．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解，在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
五、即时检测
1.（向量共线）已知梯形，其中，且，三个顶点，，，则点的坐标为________．
答案：
解析：∵在梯形中，，，∴.设点的坐标为，则，，
∴，即，
∴，解得，故点的坐标为．
2.（向量的数量积）设是直角坐标原点，，在轴上求
一点，则最小值为（ ）
　A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　D．
答案：
第33课 坐标法
一、目标导引
已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为 ．
答案：
解析：建立如图所示的直角坐标系，由题意知，且与是单位向量，
∴可设，，，
∴，∵，
∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．而，∴的最大值为，即。
二、知识梳理
关于坐标法解题，你能根据向量法找出解题思维导图吗？
预设：坐标法解决问题的一般步骤
步骤 示例（以常规积累的问题为例）
建系
设点
代入
计算
作答
三、问题研讨
问题1：平面向量的坐标运算
例题1：已知，，．设，，，且，，
(1)求；
(2)求满足的实数；
(3)求的坐标及向量的坐标．
问题2：平面向量共线的坐标表示
例题2：已知，．
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，，且三点共线，求的值．
.
问题3：坐标法在向量向图形转化中的运用
例题3：已知，若点是所在平面内一点，且，则 的最大值等于( )
A． B． C． D．
课堂练习1：在平面直角坐标系中，O为原点，，，，动点D满足，则的最大值是 。
问题4：坐标法在图形向数量转化中的运用
例题4：向量在正方形网格中的位置如图所示．若，，则 。
课堂练习2：如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．
四、总结提升
1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．
3．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解，在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
五、即时检测
1.（向量共线）已知梯形，其中，且，三个顶点，，，则点的坐标为________．
2.（向量的数量积）设是直角坐标原点，，，在轴上求
一点，则最小值为( )
　A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　D．

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