资源简介

第34课 平面向量综合运用
一、目标导引
如图，中，，（），则 .
解答：法一（向量法）
，
。
法二（坐标法）
由于本题为填空题且题设中没限制三角的形状，所以可取特殊的三角形：，取，建立直角坐标系，则，，∵，很快可得，.
二、知识梳理
利用平面向量知识解决问题的一般步骤：
向量法 坐标法
在解题过程中如何根据题目给定的条件确定运用哪种方法，在两种方法都可以的情况下，选择哪种方法能更快捷，在平时训练中要注意体会。
三、问题研讨
问题1：平面向量与三角函数的综合问题
例题1： 设向量，，.
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：.
问题2：平面向量与解析几何的综合问题
例题2：已知平面上一定点和直线，为该平面上一动点，作，垂足为，且.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若为圆的任一条直径，求的最值.
问题3：向量与平面几何的综合问题
例题3：在平行四边形中，，，为的中点．
若，则的长为________．
点评：以为基底是解题的关键，通过假设未知数，列方程求解是重要方法。
（课堂练习）已知菱形的边长为，，点， 分别在边，上，，.若，则 的值为________．
[方法技巧]
平面向量与平面几何综合问题的求解方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
问题4：向量与不等式的综合问题
例题5：已知点，，．若平面区域由所有满足（）的点组成，则的面积为 .
四、总结提升
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何、平面几何等知识结合，由向量平行或垂直、向量的几何意义、向量的数量积等条件可以得到关于未知数的关系式，在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
此类问题的解题思路是利用向量的几何意义或转化为坐标运算．
五、即时检测
1．（与平面区域、概率综合）已知，动点满足且，其中为坐标原点，则点到点的距离大于的概率为________．
第34课 平面向量综合运用
一、目标导引
如图，中，，（），则 .
解答：法一（向量法）
，
。
法二（坐标法）
由于本题为填空题且题设中没限制三角的形状，所以可取特殊的三角形：，取，建立直角坐标系，则，，∵，很快可得，.
二、知识梳理
利用平面向量知识解决问题的一般步骤：
向量法 坐标法
在解题过程中如何根据题目给定的条件确定运用哪种方法，在两种方法都可以的情况下，选择哪种方法能更快捷，在平时训练中要注意体会。
三、问题研讨
问题1：平面向量与三角函数的综合问题
例题1： 设向量，，.
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：.
解：（1）∵与垂直，
∴
，
∴。
（2）由，得
，
当即时，等号成立，所以的最大值为。
（3）由，得，所以。
问题2：平面向量与解析几何的综合问题
例题2：已知平面上一定点和直线，为该平面上一动点，作，垂足为，且。
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若为圆的任一条直径，求的最值。
解：（1）设，则，
由，得，
即，化简得，
所以点在椭圆上，其方程为。
（2）
，
是椭圆上的任一点，设，则有，即，
又，所以，
因，
所以当时，取得最大值，故的最大值为；
当时，取得最小值为，故的最小值为。
问题3：向量与平面几何的综合问题
例题3：在平行四边形中，，，为的中点．
若，则的长为________．
答案：
解析：设，，则.
又，解得，
所以的长为.
点评：以为基底是解题的关键，通过假设未知数，列方程求解是重要方法。
（课堂练习）已知菱形的边长为，，点， 分别在边，上，，.若，则 的值为________．
答案：
解析：由题意可得，
在菱形中，易知，，
所以，
，
，解得.
[方法技巧]
平面向量与平面几何综合问题的求解方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
问题4：向量与不等式的综合问题
例题5：已知点，，．若平面区域由所有满足（）的点组成，则的面积为 .
解析：设，∴，，．
∵，
∴，解得，
又，∴，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，
由于，，所以，点到直线的距离，
∴其面积。
四、总结提升
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何、平面几何等知识结合，由向量平行或垂直、向量的几何意义、向量的数量积等条件可以得到关于未知数的关系式，在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
此类问题的解题思路是利用向量的几何意义或转化为坐标运算．
五、即时检测
1．（与平面区域、概率综合）已知，动点满足且，其中为坐标原点，则点到点的距离大于的概率为________．
答案：．

展开更多......

收起↑