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第二十一章　一元二次方程
第10课时　实际问题与一元二次方程(三)(面积问题1)
知识点1　“边框”问题
例1　如图1，从正方形铁片上截去一个2 cm宽的矩形铁片，余下的面积是48 cm2.设原正方形铁片的边长为 x cm，则可列方程为_________________．
图1
x（x－2）＝48
训练　1.如图2，在一块正方形空地上划出部分区域进行绿化后，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余的矩形空地面积为20 m2.设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为______________________．
图2
（x－2）（x－3）＝20
例2　如图3，幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少？
解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，
则地毯的长为__________m，宽为__________m.
由题意，得________________________．　
整理，得_________________．　
解得x1＝________，x2＝________．
又5－2x______0，∴x________．∴x＝______．
答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是________m.
图3
（8－2x）
（5－2x）
（8－2x）（5－2x）＝18
2x2－13x＋11＝0
1
＞
1
1
训练　2.如图4，将一张长为16 cm，宽为12 cm的照片装进面积为320 cm2的矩形相框，照片四周与相框四周之间的宽度相等，求这个宽度．
图4
解：设这个宽度为x cm，则相框的长为（16＋2x）cm，宽为（12＋2x）cm.
由题意，得（16＋2x）（12＋2x）＝320.解得x1＝2，x2＝－16（舍去）．
答：这个宽度为2 cm.
知识点2　“小路”问题
例3　如图5，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540 m2，则道路的宽应为多少？
图5
解：设道路的宽应为 x m.
根据题意，得（32－x）（20－x）＝540.
解得x1＝2，x2＝50.
∵50>20，∴x＝50不符合题意，舍去．∴x＝2.
答：道路的宽应为2 m.
训练　3.改善小区环境，争创文明家园．如图6，某社区决定在一块长(AD)16 m，宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分为草坪．要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？
图6
解：设小路的宽应为 x m.
根据题意，得（16－2x）（9－x）＝112.
解得x1＝1，x2＝16.
∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去．∴x＝1.
答：小路的宽应为1 m.
1．如图7，在一块长15 m，宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的道路，剩余部分用来绿化，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为________m.
基础过关
图7
1
2．某中学有一块长40 m，宽30 m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图8所示．设花带的宽度为x m，则可列方程为______________________________．
（40－2x）（30－x）＝900
图8
3．2020年初，受新型冠状病毒的影响，口罩成为最紧缺的物资之一，某服装厂快速转型生产某种型号的矩形防护口罩．如图9，已知该口罩的长为18 cm，宽为9 cm，口罩的上压边宽度是下压边宽度的2倍，左右压边与下压边同宽(图中阴影部分)．
(1)设口罩的下压边宽度为x cm，则口罩的上压边宽度为__________cm.
图9
2x
(2)要使口罩内部的有效面积达到96 cm2，则口罩的下压边宽度应为多少？
图9
解：依题意，得（18－2x）（9－3x）＝96.
解得x1＝1，x2＝11（舍去）．
答：口罩的下压边宽度应为1 cm.
4．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为 x 步，则依题意列方程为_____________________．
能力提升
x（x＋12）＝864
5．某校为迎接2022冬奥会，举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园内一块长50 m，宽20 m的矩形空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图10，要使两块矩形冰场之间及周边留有宽度相等的通道，且两块矩形冰场的面积是原空地面积的 ，求通道的宽度．
图10
6．【应用意识】如图11，在宽为25米，长为35米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为(　　)
A．35×25－35x－25x＝540
B．(35－x)(25－x)＝540
C．35x＋25x＝540
D．(35－x)(25－x)＋x2＝540
核心素养
图11
B

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