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考点1：带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1．轨迹圆心的两种确定方法
（1）已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度方向的垂线，交点即为圆心，如图所示。
（2）已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图所示。
2．三种求半径的方法
（1）根据半径公式r＝求解。
（2）根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。
（3）根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝。
3．四种角度关系
（1）如图所示，速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。
（2）圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。
（3）相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。
（4）进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。
4．两种求时间的方法
（1）利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角，则t＝T。
（2）利用弧长s和速度v求解，t＝。
【例1】　如图所示，质量为m，电荷量为q的负离子，以速度v垂直于荧光屏S经过小孔O射入匀强磁场中，磁场方向与离子的运动方向垂直，磁感应强度的大小为B，处于真空中。求：
（1）离子打在荧光屏上的位置离O点的距离是多少？
（2）若离子进入磁场后经过一段时间到达P点，已知OP连线与入射方向的夹角为θ，求离子从O到P所经历的时间？
【解答】　(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，作出其运动轨迹，如图
由牛顿第二定律可得：Bqv＝m
解得：r＝
如图所示，离子回到屏S上的位置与O点的距离为：d＝2r＝。
(2)当离子到位置P时，圆心角：α＝2θ
离子运动的时间为t＝T，而周期T＝
所以联立以上三式得：离子运动时间t＝
分析带电粒子在磁场中做圆周运动问题的要点
确定粒子的运动轨迹、半径、圆心角等是解决此类问题的关键。
掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式和周期公式是分析此类问题的依据。
1．如图所示，一束电子(电荷量为e)以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是___________，在磁场中的运动时间是________。
【解答】电子在磁场中运动只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为F⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力方向的交点，如题图所示的O点。
由几何知识可知，CD间圆心角θ＝30°，OD为半径。
r＝＝2d，又由r＝得m＝
电子在磁场中的运动时间t＝T
解得t＝×＝。
考点2：磁场与科技
现代科技中的应用
装置 原理图 规律
速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极间电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝Bdv0
电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
【例2】　如图所示为一速度选择器，也称为滤速器的原理图。K为电子枪，由枪中沿KA方向射出的电子，速率大小不一。当电子通过方向互相垂直的匀强电场和匀强磁场后，只有一定速率的电子能沿直线前进，并通过小孔S。设产生匀强电场的平行板间的电压为300 V，间距为5 cm，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为0.06 T，问：
（1）磁场的指向应该向里还是向外？
（2）速率为多大的电子才能通过小孔S
【解答】(1)由题图可知，平行板间的电场强度E的方向向下，电子受到的静电力FE＝eE，方向向上。若没有磁场，电子将向上偏转，为了使电子能够穿过小孔S，所加的磁场施于电子的洛伦兹力必须是向下的。根据左手定则分析得出，B的方向应该垂直于纸面向里。
(2)电子受到的洛伦兹力FB＝evB，它的大小与电子的速度v
有关。只有那些速度的大小刚好使得洛伦兹力与静电力平衡的电子，才可沿直线KA通过小孔S。
据题意，能够通过小孔S的电子，其速度满足：evB＝eE，
解得v＝。
又因为E＝，所以v＝。
将U＝300 V，B＝0.06 T，d＝0.05 m代入上式，解得v＝105 m/s，即只有速度为105 m/s的电子才可以通过小孔S。
带电粒子在速度选择器中若做曲线运动，则曲线运动不是“类平抛”运动。
速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计都利用了力的平衡知识。
2．(多选)为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计。该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口。在垂直于上下表面方向加磁感应强度大小为B的匀强磁场，在前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两极间的电压U。若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是(　　)
A．N端的电势比M端的高
B．若污水中正、负离子数相同，则前后表面的电势差为零
C．电压表的示数U跟a和b都成正比，跟c无关
D．电压表的示数U跟污水的流量Q成正比
【解答】AD　由左手定则可知，不管污水带何种电性，都有φN>φM，选项A正确，选项B错误。当电荷受力平衡时有qvB＝q，得v＝，流量Q＝Sv＝，选项C错误，选项D正确。
考点3：带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1.单平面边界的磁场问题
从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
2.双平行平面边界的磁场问题
带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。
（1）当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。
（2）当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。
【例:3】　如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
（1）两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
（2）两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
【分析】(1)根据速度方向和粒子的电性画出运动轨迹，利用几何关系求出轨道半径。
(2)粒子的运动具有对称性，即进、出磁场时的速度方向和边界的夹角相等。
【解答】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有
qvB＝m，则r＝
故d＝OA＋OB＝2r1sin 30°＋2r2sin 60°＝。
(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝
粒子2圆周运动的圆心角θ2＝
粒子做圆周运动的周期T＝＝
粒子1在匀强磁场中运动的时间t1＝T
粒子2在匀强磁场中运动的时间t2＝T
所以Δt＝t1－t2＝。
要按照“画轨迹，找圆心，求半径利用几何关系”的基本思路进行。
解题过程中注意对称性的应用。
3．如图所示，直线MN的上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。现有一质量为m、带电荷量为＋q的粒子在纸面内以某一速度从A点射出，其方向与MN成30°角，A点到MN的距离为d，带电粒子所受的重力不计。求：
（1）当v满足什么条件时，粒子能回到A点；
（2）粒子在磁场中运动的时间t。
【解答】(1)粒子运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中运动的轨道半径为r，
由图中的几何关系可知r＝＝2d
由牛顿第二定律有Bqv＝m
联立解得v＝。
(2)由图可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为300°，所以t＝T＝。
考点4：带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。
如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。
2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题
处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。
甲　　　　　　　乙
（1）当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。
（2）由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。
（3）如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。
【例4】　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A
处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
【分析】(1)粒子沿半径方向进入磁场后，仍会沿着半径方向射出磁场。
(2)画出运动轨迹并求出轨道半径是解答本题的关键。
【解答】(1)粒子的运动轨迹如图所示，由左手定则可知，该粒子带负电荷。
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r，
又qvB＝m，则粒子的比荷＝。
(2)设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，
粒子做圆周运动的半径R′＝＝r，
又R′＝，所以B′＝B，
粒子在磁场中运动所用时间
t＝T＝×＝。
4.如图所示，在圆形区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径。一带正电的粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°角时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t。若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)(　　)
A．3t　　　B．t　　　C．t　　　D．2t
【解答】D　设圆形磁场半径为R，粒子以速度2v射入磁场，半径r1＝，由图可得，r1＝2R，运动时间t1＝·＝＝t；粒子以速度v射入磁场，半径r2＝＝R，圆心角θ＝120°，运动时间t2＝
·＝＝2t，选项D正确。
考点5：带电粒子在有界磁场中的临界问题
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，带电粒子速度大小的变化，引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：
（1）刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
（2）当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
（3）当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大的，运动时间越长。
【例5】　如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为电场和磁场的理想边界，一束电子(电荷量为e，质量为m，重力不计)由静止状态从P点经过Ⅰ、Ⅱ间的电场加速后垂直到达边界Ⅱ的Q点，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场边界宽度为d，电子从磁场边界Ⅲ穿出时的速度方向与电子原来的入射方向夹角为30°。
（1）求电子在磁场中运动的时间t；
（2）若改变PQ间的电势差，使电子刚好不能从边界Ⅲ射出，则此时PQ间的电势差U是多少？
【解答】(1)由洛伦兹力提供向心力可得evB＝，且
T＝
得电子在磁场中运动周期T＝
由几何关系知电子在磁场中运动时间t＝T＝T
解得t＝。
(2)电子刚好不从边界Ⅲ穿出时轨迹与边界相切，运动半径为R＝d
由evB＝m得v＝
电子在PQ间由动能定理得eU＝mv2－0
解得U＝。
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。
画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。
如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为(　　)
A． B．
C． D．
【解答】C　从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图所示。由图知：2R＝OB·cos 30°，OB＝，又有Bqv＝得v＝。
考点一　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1．如图所示，a和b是从A点以相同的速度垂直磁场方向射入匀强磁场的两个粒子运动的半圆形径迹，已知两个粒子所带电荷量相同，且ra＝2rb ，不计重力的影响，则由此可知(　　)
A．两粒子均带正电，质量比＝
B．两粒子均带负电，质量比＝
C．两粒子均带正电，质量比＝
D．两粒子均带负电，质量比＝
【解答】B　两粒子进入磁场后均向下偏转，可知在A点，均受到向下的洛伦兹力，由左手定则可知，四指所指的方向与运动方向相反，得知两个粒子均带负电；在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，得m＝，因a、b进入磁场的速度相同，电荷量也相同，又在同一磁场运动，故＝＝，选B。
2．一个带电粒子沿垂直于磁场方向射入匀强磁场中，由于使沿途空气电离而使粒子的动能逐渐减小，轨迹如图所示。下列有关粒子的运动方向和所带电性的判断正确的是(　　)
A．粒子由a向b运动，带正电
B．粒子由a向b运动，带负电
C．粒子由b向a 运动，带正电
D．粒子由b向a运动，带负电
【解答】D　据题意，带电粒子沿垂直于磁场方向射入匀强磁场，粒子的能量逐渐减小，速度减小，则由公式r＝得知，粒子的半径应逐渐减小，由图看出，粒子的运动方向是从b到a。在b处，粒子所受的洛伦兹力指向圆心，即斜向左上方，由左手定则判断可知，该粒子带负电，故选D。
3．如图所示，正方形区域ABCD中有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带正电粒子(不计重力)以一定速度沿AB边的中点M垂直于AB边射入磁场，恰好从A点射出，则(　　)
A．若该粒子从A点射入，粒子将从M点射出
B．仅增大该粒子的速度，粒子在磁场中运动时间将变小
C．若将该粒子速度增大为原来的2倍，粒子将从D点射出
D．仅增大磁感应强度，粒子在磁场中运动时间将增大
【解答】B　由安培左手定则可知，该粒子从A点射入磁场的洛伦兹力方向向上，将无法从M点射出，故A错误；带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，根据公式r＝与t＝，若仅增大该粒子的速度，粒子在磁场中的半径将增大，转过的圆心角将减小，运动的时间也将减小，故B正确；根据公式r＝与T＝，若仅增大磁感应强度，粒子在磁场中半径将减小，但仍然转过半圈，时间等于半个周期t＝＝，运动时间将减小，故D错误；若正方形ABCD的边长为a，由几何关系可知，r＝a，又根据公式r＝，将该粒子速度增大为原来的2倍，圆周的半径也将增大为原来的2倍，粒子将从AD的中点射出，故C错误。
4．如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变。不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为(　　)
A．2　　　　B．　　　　C．1　　　　D．
【解答】D　设带电粒子在P点时初速度为v1，从Q点穿过铝板后速度为v2，则Ek1＝mv，Ek2＝mv；由题意可知Ek1＝2Ek2，即mv＝mv，则＝。由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝，得r＝，由题意可知＝，则＝，D项正确。
5．如图所示，一带电荷量为q＝＋2×10－9 C、质量为m＝1.8×10－16 kg的粒子(重力不计)，在直线上一点O处沿与直线成30°角的方向垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经历t＝1.5×10－6 s后到达直线上另一点P。求：
(1)带电粒子做圆周运动的周期T；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若OP的距离为0.1 m，求粒子的运动速度v的大小？(保留三个有效数字)
【解答】粒子进入磁场后受洛伦兹力的作用，粒子做匀速圆周运动的轨迹如图所示。
(1)由几何关系可知OP弦对应的圆心角θ＝60°，粒子由O沿大圆弧到P所对应的圆心角为300°，则有＝＝，解得
T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。
(2)由于粒子做圆周运动所需向心力由洛伦兹力提供，
有qvB＝m，v＝
得B＝＝ T＝0.314 T。
(3)轨道半径r＝OP＝0.1 m
粒子的速度v＝≈3.49×105 m/s。
考点二　磁场与科技
6．(多选)如图所示，平行板电容器的两板与电源相连，板间同时有电场和垂直纸面向里的匀强磁场B，一个带电荷量为＋q的粒子以v0为初速度从两板中间沿垂直电磁场方向进入，穿出时粒子的动能减小了，若想使这个带电粒子以v0沿原方向匀速直线运动穿过电磁场，可采用的办法是(　　)
A．减小平行板的正对面积 B．增大电源电压
C．减小磁感应强度B D．增大磁感应强度B
【解答】BC　减小平行板间的正对面积，U不变，d不变，则电场强度不变，电场力不变，仍然小于洛伦兹力，不能匀速穿越电磁场，故A错误；增大电源电压，则电场强度增大，电场力变大，能够与洛伦兹力相等，做匀速直线运动，故B正确；减小磁感应强度，则洛伦兹力减小，能够与电场力平衡，做匀速直线运动，故C正确；增大磁感应强度，则洛伦兹力增大，仍然大于电场力，不能匀速穿越电磁场，故D错误。
7．将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒)沿如图所示方向射入磁场，下列说法正确的是(　　)
A．正电荷向A板偏转
B．负电荷向A板偏转
C．洛伦兹力对正电荷做正功
D．洛伦兹力对负电荷做正功
【解答】A　等离子体射入磁场后，由左手定则知正离子受到向上的洛伦兹力，向A板偏转，负电荷向B板偏转，选项A正确，B错误；洛伦兹力的方向与速度方向垂直，则洛伦兹力不做功，选项C、D错误。
8．一种新型发电机叫磁流体发电机，如图所示表示它的发电原理：将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量带正电和负电的粒子，而从整体来说呈中性)沿图中所示方向喷射入磁场，磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就聚集了电荷。在磁极配置如图中所示的情况下，下列说法中正确的是 (　　)
A．A板带正电
B．有电流从b经用电器流向a
C．金属板A、B间的电场方向向下
D．等离子体发生偏转的原因是离子所受洛伦兹力小于所受电场力
【解答】B　根据左手定则知，正电荷向下偏，负电荷向上偏，则A板带负电，故A错误；因为B板带正电，A板带负电，所以电流的流向为b经用电器流向a，故B正确；因为B板带正电，A板带负电，所以金属板间的场强方向向上，故C错误；等离子体发生偏转的原因是离子所受洛伦兹力大于所受电场力，故D错误。
9．(多选)如图所示，电路中有一段金属导体，它的横截面是宽为a、高为b的长方形，放在沿y轴正方向的匀强磁场中，导体中通有沿x轴正方向、大小为I的电流，已知金属导体中单位体积的自由电子数为n，电子电荷量为e，金属导电过程中，自由电子做定向移动可视为匀速运动，测出金属导体前后两个侧面间的电势差的大小为U，则下列说法正确的是(　　)
A．前侧面电势较高 B．后侧面电势较高
C．磁感应强度大小为 D．磁感应强度的大小
【解答】BC　电子定向移动方向和电流方向相反，所以电子定向移动方向沿x
轴负方向，根据左手定则判断，电子受力方向指向前侧面，所以前侧面电势低，后侧面电势高，A错误，B正确；当金属导体中自由电子定向移动时，受洛伦兹力作用向前侧面偏转，使得前后两侧面间产生电势差，当电子所受电场力和洛伦兹力平衡时，前后两侧产生恒定的电势差，则有q＝n(abvt)e，＝Bev，I＝，联立以上几式解得：B＝，D错误，C正确。
巩固提升
1．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子动能较大
D．b粒子在磁场中运动时间较长
【解答】C　粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，应带正电；a向下偏转，应带负电，故A错误；洛伦兹力提供向心力，即：qvB＝m，得：r＝，故半径较大的b粒子速度大，动能也大。由公式f＝qvB，故速度大的b受洛伦兹力较大，故B错误，C正确；磁场中偏转角大的运动的时间也长；a粒子的偏转角大，因此运动的时间较长，故D错误。
2．(多选)如图所示，圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下，带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射时，穿过此区域的时间为t；若该区域加沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转了，根据上述条件可求得的物理量为(　　)
A．带电粒子的初速度
B．带电粒子在磁场中运动的半径
C．带电粒子在磁场中运动的周期
D．带电粒子的比荷
【解答】CD　无磁场时，带电粒子做匀速直线运动，设圆柱形区域磁场的半径为R0，则v＝；而有磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，由半径公式可得：R＝；由几何关系得，圆形磁场半径与圆轨道半径的关系：R＝R0；可得：＝；设粒子在磁场中的运动时间为t0，粒子飞出此区域时，速度方向偏转60°角，则由周期公式可得：t0＝＝πt；由于不知圆磁场的半径，因此带电粒子的运动半径以及初速度无法求出。故选C、D。
3．如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场。其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S运动到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)(　　)
A．1∶3　 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2
【解答】D　粒子在磁场中运动的周期的公式为T＝，由此可知，粒子的运动的时间与粒子的速度的大小无关，所以粒子在磁场中的周期相同，由粒子的运动的轨迹可知，通过a点的粒子的偏转角为90°，通过b点的粒子的偏转角为60°，所以通过a点的粒子的运动的时间为，通过b点的粒子的运动的时间为，所以从S到a、b所需时间t1∶t2为3∶2。
4．如图所示，在xOy平面内x轴上方有垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m，电荷量为＋q的粒子(不计重力)，从O点以某一初速度垂直磁场射入，其轨迹与y轴交于M点，与x轴交于N点(图中M、N未画出)。已知OM＝a，ON＝a，求：
(1)粒子初速度v的大小；
(2)粒子在磁场中运动的时间t。
【解答】　(1)根据题意作出粒子运动轨迹如图所示。根据几何关系可得：
R2＝＋
解得R＝a
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m
解得：v＝。
(2)根据几何关系可得：tan θ＝＝
解得θ＝60°
粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为
α＝360°－120°＝240°
则粒子在磁场中运动的时间为t＝×＝。考点1：带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1．轨迹圆心的两种确定方法
（1）已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度方向的垂线，交点即为圆心，如图所示。
（2）已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图所示。
2．三种求半径的方法
（1）根据半径公式r＝求解。
（2）根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。
（3）根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝。
3．四种角度关系
（1）如图所示，速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。
（2）圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。
（3）相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。
（4）进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。
4．两种求时间的方法
（1）利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角，则t＝T。
（2）利用弧长s和速度v求解，t＝。
【例1】　如图所示，质量为m，电荷量为q的负离子，以速度v垂直于荧光屏S经过小孔O射入匀强磁场中，磁场方向与离子的运动方向垂直，磁感应强度的大小为B，处于真空中。求：
（1）离子打在荧光屏上的位置离O点的距离是多少？
（2）若离子进入磁场后经过一段时间到达P点，已知OP连线与入射方向的夹角为θ，求离子从O到P所经历的时间？
分析带电粒子在磁场中做圆周运动问题的要点
确定粒子的运动轨迹、半径、圆心角等是解决此类问题的关键。
掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式和周期公式是分析此类问题的依据。
1．如图所示，一束电子(电荷量为e)以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是___________，在磁场中的运动时间是________。
考点2：磁场与科技
现代科技中的应用
装置 原理图 规律
速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极间电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝Bdv0
电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
【例2】　如图所示为一速度选择器，也称为滤速器的原理图。K为电子枪，由枪中沿KA方向射出的电子，速率大小不一。当电子通过方向互相垂直的匀强电场和匀强磁场后，只有一定速率的电子能沿直线前进，并通过小孔S。设产生匀强电场的平行板间的电压为300 V，间距为5 cm，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为0.06 T，问：
（1）磁场的指向应该向里还是向外？
（2）速率为多大的电子才能通过小孔S
带电粒子在速度选择器中若做曲线运动，则曲线运动不是“类平抛”运动。
速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计都利用了力的平衡知识。
2．(多选)为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计。该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口。在垂直于上下表面方向加磁感应强度大小为B的匀强磁场，在前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两极间的电压U。若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是(　　)
A．N端的电势比M端的高
B．若污水中正、负离子数相同，则前后表面的电势差为零
C．电压表的示数U跟a和b都成正比，跟c无关
D．电压表的示数U跟污水的流量Q成正比
考点3：带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1.单平面边界的磁场问题
从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
2.双平行平面边界的磁场问题
带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。
（1）当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。
（2）当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。
【例:3】　如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
（1）两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
（2）两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
要按照“画轨迹，找圆心，求半径利用几何关系”的基本思路进行。
解题过程中注意对称性的应用。
3．如图所示，直线MN的上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。现有一质量为m、带电荷量为＋q的粒子在纸面内以某一速度从A点射出，其方向与MN成30°角，A点到MN的距离为d，带电粒子所受的重力不计。求：
（1）当v满足什么条件时，粒子能回到A点；
（2）粒子在磁场中运动的时间t。
考点4：带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。
如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。
2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题
处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。
甲　　　　　　　乙
（1）当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。
（2）由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。
（3）如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。
【例4】　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
4.如图所示，在圆形区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径。一带正电的粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°角时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t。若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)(　　)
A．3t　　　B．t　　　C．t　　　D．2t
考点5：带电粒子在有界磁场中的临界问题
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，带电粒子速度大小的变化，引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：
（1）刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
（2）当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
（3）当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大的，运动时间越长。
【例5】　如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为电场和磁场的理想边界，一束电子(电荷量为e，质量为m，重力不计)由静止状态从P点经过Ⅰ、Ⅱ间的电场加速后垂直到达边界Ⅱ的Q点，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场边界宽度为d，电子从磁场边界Ⅲ穿出时的速度方向与电子原来的入射方向夹角为30°。
（1）求电子在磁场中运动的时间t；
（2）若改变PQ间的电势差，使电子刚好不能从边界Ⅲ射出，则此时PQ间的电势差U是多少？
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。
画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。
如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为(　　)
A． B．
C． D．
考点一　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1．如图所示，a和b是从A点以相同的速度垂直磁场方向射入匀强磁场的两个粒子运动的半圆形径迹，已知两个粒子所带电荷量相同，且ra＝2rb ，不计重力的影响，则由此可知(　　)
A．两粒子均带正电，质量比＝
B．两粒子均带负电，质量比＝
C．两粒子均带正电，质量比＝
D．两粒子均带负电，质量比＝
2．一个带电粒子沿垂直于磁场方向射入匀强磁场中，由于使沿途空气电离而使粒子的动能逐渐减小，轨迹如图所示。下列有关粒子的运动方向和所带电性的判断正确的是(　　)
A．粒子由a向b运动，带正电
B．粒子由a向b运动，带负电
C．粒子由b向a 运动，带正电
D．粒子由b向a运动，带负电
3．如图所示，正方形区域ABCD中有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带正电粒子(不计重力)以一定速度沿AB边的中点M垂直于AB边射入磁场，恰好从A点射出，则(　　)
A．若该粒子从A点射入，粒子将从M点射出
B．仅增大该粒子的速度，粒子在磁场中运动时间将变小
C．若将该粒子速度增大为原来的2倍，粒子将从D点射出
D．仅增大磁感应强度，粒子在磁场中运动时间将增大
4．如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变。不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为(　　)
A．2　　　　B．　　　　C．1　　　　D．
5．如图所示，一带电荷量为q＝＋2×10－9 C、质量为m＝1.8×10－16 kg的粒子(重力不计)，在直线上一点O处沿与直线成30°角的方向垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经历t＝1.5×10－6 s后到达直线上另一点P。求：
(1)带电粒子做圆周运动的周期T；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若OP的距离为0.1 m，求粒子的运动速度v的大小？(保留三个有效数字)
考点二　磁场与科技
6．(多选)如图所示，平行板电容器的两板与电源相连，板间同时有电场和垂直纸面向里的匀强磁场B，一个带电荷量为＋q的粒子以v0为初速度从两板中间沿垂直电磁场方向进入，穿出时粒子的动能减小了，若想使这个带电粒子以v0沿原方向匀速直线运动穿过电磁场，可采用的办法是(　　)
A．减小平行板的正对面积 B．增大电源电压
C．减小磁感应强度B D．增大磁感应强度B
7．将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒)沿如图所示方向射入磁场，下列说法正确的是(　　)
A．正电荷向A板偏转
B．负电荷向A板偏转
C．洛伦兹力对正电荷做正功
D．洛伦兹力对负电荷做正功
8．一种新型发电机叫磁流体发电机，如图所示表示它的发电原理：将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量带正电和负电的粒子，而从整体来说呈中性)沿图中所示方向喷射入磁场，磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就聚集了电荷。在磁极配置如图中所示的情况下，下列说法中正确的是 (　　)
A．A板带正电
B．有电流从b经用电器流向a
C．金属板A、B间的电场方向向下
D．等离子体发生偏转的原因是离子所受洛伦兹力小于所受电场力
9．(多选)如图所示，电路中有一段金属导体，它的横截面是宽为a、高为b的长方形，放在沿y轴正方向的匀强磁场中，导体中通有沿x轴正方向、大小为I的电流，已知金属导体中单位体积的自由电子数为n，电子电荷量为e，金属导电过程中，自由电子做定向移动可视为匀速运动，测出金属导体前后两个侧面间的电势差的大小为U，则下列说法正确的是(　　)
A．前侧面电势较高 B．后侧面电势较高
C．磁感应强度大小为 D．磁感应强度的大小
巩固提升
1．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子动能较大
D．b粒子在磁场中运动时间较长
2．(多选)如图所示，圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下，带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射时，穿过此区域的时间为t；若该区域加沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转了，根据上述条件可求得的物理量为(　　)
A．带电粒子的初速度
B．带电粒子在磁场中运动的半径
C．带电粒子在磁场中运动的周期
D．带电粒子的比荷
3．如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场。其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S运动到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)(　　)
A．1∶3　 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2
4．如图所示，在xOy平面内x轴上方有垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m，电荷量为＋q的粒子(不计重力)，从O点以某一初速度垂直磁场射入，其轨迹与y轴交于M点，与x轴交于N点(图中M、N未画出)。已知OM＝a，ON＝a，求：
(1)粒子初速度v的大小；
(2)粒子在磁场中运动的时间t。

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