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画了辅助圆，这题真不难！
------兼谈 2022 年全国乙卷理 11 题的“尴尬选择”
题目：双曲线C 的两个焦点为 F1, F2 ，以C 的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与
3
C 交于M 、 N 两点，且cos F1NF2 ，则C 的离心率为（ ）
5
5 3 13 17
A. B. C. D.
2 2 2 2
x2 y2
不妨设该双曲线的方程为 1 .如图，以 F1F2 为直径画圆交 F1N 于 P ,则
a2 b2
F2P F1N .下面的结果是不是有“顺流而下”的感觉？
（1） F P 2 FQ 2 c a c a 2b ,如果说初中平面几何中哪些知识点比较有地1 1
位，圆的切割线会占有一席之地，当然，同心圆的性质也不可小觑；
2 2 2 2
（2） F2P F1F2 F1P 2c 2b 2a ，勾股定理，哪里都有你来蹭热点；
F2P 2a 3a F2P 2a 5a
（3） NP ， F2N ， F1NF2 看似孤
tan F 41NF2 2 sin F1NF 4 2
3 5
零零地存在，一旦走进直角三角形，便如鱼得水了；
2
3a 3a 5a b 3 b 13
（4）F N F P NP 2b ，2b 2a， ，e 1 ，1 1
2 2 2 a 2 a 2
回到定义，回归原生态！
做到这里，如释重负，直接选 C，大功告成！
受画图习惯的影响，我们往往第一时间画出上图来做，但平时解题还会遇到“直线与双曲线
两交点的同支、异支”的纠结，因为是单一选择题，我们又做出了可选的答案，这份纠结可
能一闪而过，但比我们更纠结的是命题人，他们不会一闪而过，一个失误陷入了尴尬的境地
------这个题目有两个答案可选！
如图，交点同支.
（1） F1P 2 F1Q 2 c a c a 2b；
2 2 2 2
（2） F2P F1F2 F1P 2c 2b 2a ；
F2P 2a 3a F2P 2a 5a
（3） NP ， F2N ；
tan F NF 41 2 2 sin F1NF 4 2
3 5
3a 5a 3a
（4） F1N NP F ， 2b 2a ， 1P 2b
2 2 2
2
b 5
a 2b， e 1 .
a 2
其它做法可参考：
(I) M 、 N 异支
不妨设双曲线焦点在 x轴，设过F1作圆D的切线切点为G ，OG NF1，因为
3
cos F1NF2 0，
5
所以 OG a， OF1 c， GF1 b ，设 F1NF2 ， F2F1N ，
3 3 4 a b
由cos F1NF2 ，即cos ，则sin ，sin ，cos ，
5 5 5 c c
在 F2F1N 中，sin F1F2N sin sin
4 b 3 a 3a 4b
sin cos cos sin ，
5 c 5 c 5c
2c NF2 NF1 5c
由正弦定理得 ，
sin sin sin F1F2N 2
5c 5c 3a 4b 3a 4b 5c 5c a 5a
所以 NF1 sin F1F2N ， NF2 sin
2 2 5c 2 2 2 c 2
3a 4b 5a 4b 2a
又 NF1 NF2 2a ，
2 2 2
b 3
所以2b 3a ，即 ，
a 2
c b2 13
所以双曲线的离心率e 1 .
a a2 2
（II）M 、 N 同支略.
正可谓：画．了．辅．助．圆．，．这．题．真．不．难．；．单．选．变．多．选．，．才．是．真．的．难．！

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