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第45课 空间几何体的表面积与体积
一、目标导引
1.某空间几何体的三视图如图所示，你能求出该几何体的底面积、侧面积、表面积、体积吗？
2．一个几何体的三视图如图所示（单位：），一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .
二、知识梳理
（1）多面体的面积和体积公式
名称 侧面积() 全面积() 体 积(V)
棱柱 棱柱 直截面周长×l
直棱柱
棱锥 棱锥 各侧面积之和
正棱锥
棱台 棱台 各侧面面积之和
正棱台
表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长.
（2）旋转体的面积和体积公式
名称 侧面积 表面积 体积
圆柱
圆锥
圆台
球
表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，、分别表示圆台上、下底面半径，表示球的半径.
三、问题研讨
问题1 几何体的表面积
例题1：某空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是 .
变式1：已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的侧面积为_________．
问题2 几何体的体积
例2：已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 .
变式2：.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
问题3 几何体的割补问题
例3. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.
　　
问题4 球的切接问题
例题4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为(　　)
A． B． C． D．
变式3：设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积最大值为(　　)
A． B． C． D．
四、总结提升
1.正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.[]
①设正四面体的棱长为，则高为，对棱间的距离为，体积为.
②正四面体可补形为正方体，如图所示，四面体即为正四面体.各个棱为正方体的面对角线.正方体的棱长是正四面体棱长的.利用这个补形为解题带来很大的方便.
2. 多面体外接球半径常见的几种求法
①公式法：球的半径，其中为球心到截面的距离与球的半径，为截面圆的半径；②多面体几何性质法，比如长方体的体对角线长就是其外接球的直径；③补形法：将几何体补成一个长方体，使得该几何体的各个顶点恰好是长方体的顶点，则这个几何体的外接球半径（其中，，为该长方体的长宽高）；④寻求球轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法.
3. 多面体体积常见的几种方法
①直接法（公式法）；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.
五、即时检测
1.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.
2.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________ ．
第45课 空间几何体的表面积与体积
一、目标导引
1．某空间几何体的三视图如图所示，你能求出该几何体的底面积、侧面积、表面积、体积吗？
解答：该几何体是底面为等腰梯形的直三棱柱（如图所示），则底面积为14，侧面积为64，表面积为92，体积为56．
2．一个几何体的三视图如图所示（单位：），一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 ．
解：由三视图可得该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积．
二、知识梳理
（1）多面体的面积和体积公式
名称 侧面积() 全面积() 体 积(V)
棱柱 棱柱 直截面周长×l
直棱柱
棱锥 棱锥 各侧面积之和
正棱锥
棱台 棱台 各侧面面积之和
正棱台
表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长．
（2）旋转体的面积和体积公式
名称 侧面积 表面积 体积
圆柱
圆锥
圆台
球
表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，、分别表示圆台上、下底面半径，表示球的半径．
三、问题研讨
问题1 几何体的表面积
例题1：某空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是 ．
解答：由三视图可知该几何体的上部是半径为的球，下部是半径为，高为2的半个圆柱，由于球的表面积为，半个圆柱的表面积为，故答案为．
变式1：已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的侧面积为_________．
答案：设母线长为a,
提炼1：几何体的表面积的求法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理．
问题2 几何体的体积
例2：已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 .
答案：
变式2：.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
答案：8π
问题3 几何体的割补问题
例3． 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3．
　　
解答： 根据三视图，该几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥而得到的，如图所示，所以体积，故答案为24．
问题4 球的切接问题
例题4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为(　　)
A． B． C． D．
解析：选A　由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为，故体积为，故选A．
变式3：设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，为球心，为等边的重心，
易知底面，当三点共线，
即底面时，三棱锥的高最大，体积也最大. 此时：
，
在等边中，，
在中，易知，，故
提炼2：有关几何体体积的类型及解题策略
常见类型 解题策略
球的体积问题 直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径
锥体、柱体的体积问题 根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解
以三视图为载体的几何体体积问题 将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解
不规则几何体的体积问题 常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解
四、总结提升
1．正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体．[]
①设正四面体的棱长为，则高为，对棱间的距离为，体积为．
②正四面体可补形为正方体，如图所示，四面体即为正四面体．各个棱为正方体的面对角线．正方体的棱长是正四面体棱长的．利用这个补形为解题带来很大的方便．
2． 多面体外接球半径常见的几种求法
①公式法：球的半径，其中为球心到截面的距离与球的半径，为截面圆的半径；②多面体几何性质法，比如长方体的体对角线长就是其外接球的直径；③补形法：将几何体补成一个长方体，使得该几何体的各个顶点恰好是长方体的顶点，则这个几何体的外接球半径（其中，，为该长方体的长宽高）；④寻求球轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法．
3． 多面体体积常见的几种方法
①直接法（公式法）；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方．
求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体．补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等．
五、即时检测
1. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3．
解答：由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中＝＝2 cm，＝4 cm，
∴该几何体的体积＝2×2×4×2＝32 cm3，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 cm2.
2.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________ ．
解答：如图设球的半径为，圆锥的底面 圆半径为，则依题意得，
所以，故，所以，
所以,
所以，即体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．

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