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第50课 位置关系
一、目标导引
1．（2017全国Ｉ卷文6）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A． B．
C． D．
2．问题：答案A．直线与平面的位置关系是什么？
二、知识梳理
（一）平面的基本性质
名称 图示 文字表示 符号表示
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ，且，
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ，且 ，且
（二）空间直线的位置关系
1．位置关系的分类
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义：设是两条异面直线，经过空间中任一点作直线，
把所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角．
(2)范围：
三、直线与平面的位置关系
位置关系 图示 符号表示 公共点个数
直线在平面内 无数个
直线与平面相交 一个
直线与平面平行 // 0个
四、平面与平面的位置关系
位置关系 图示 符号表示 公共点个数
两个平面平行 // 0个
两个平面相交 无数个(这些公共点均在交线上)
三、问题研讨
问题1 平面的基本性质
例题1 ：以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点共面，点共面，则共面；
③若直线，共面，直线，共面，则直线，共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0　　　　　　　　　B．1 C．2 D．3
提炼1：解决共面问题往往有3个技巧
(1)通过共面的公理判断，如：不在同一直线上三点；
(2)利用线线、线面位置关系来判断，如：两平行直线共面，两相交直线共面
(3)借助空间几何体图形来判断，如：长方体，空间四边形等等
问题2 空间两直线的位置关系
例题2：（2016上海文）如图，在正方体中，分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
例题3：对于直线和平面，下列命题中的真命题是(　　)
A．如果是异面直线，那么
B．如果是异面直线，那么与相交
C．如果共面，那么
D．如果共面，那么与相交
提炼2：解决空间两直线的位置关系问题有2类问题
(1)异面直线位置关系的判断：①反证法：排除相交和平行；②利用异面直线的定义；
(2)位置关系往往借助空间几何体模型来判断，如：长方体等等；
问题3异面直线所成的角
例题4：（2014 新课标II）直三棱柱中，，、分别是， 的中点， ，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题5：在长方体中，，，则异面直线与
所成角的余弦值为
A． B． C． D．
提炼3：解决异面直线所成的角问题有2种方法
(1)将异面直线通过平移成相交直线，然后借助解三角形知识：勾股定理、余弦定理等等求解；立体几何平面化过程；
(2) (理科生)建立空间直角坐标系，运用空间向量公式，这里要注意两直线夹角的范围为；体现几何问题代数化过程；
四、总结提升
1．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．
2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．
3． 异面直线的判定方法
判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．　
4．异面直线所成的角的求解
求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
五、即时检测
1．（15年广东文）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交
2．如图所示，在三棱锥中，分别是和的中点．若，，则与所成的角是_______．
第50课 位置关系
一、目标导引
1．（2017全国Ｉ卷文6）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A． B．
C． D．
答案：A．解析：由B，，则直线平面；由，，则直线则直线平面；由D，，则直线平面．故A不满足，选A．
2．问题：答案A．直线与平面的位置关系是什么？
答案：相交．解析：直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．
二、知识梳理
（一）平面的基本性质
名称 图示 文字表示 符号表示
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ，且，
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ，且 ，且
（二）空间直线的位置关系
1．位置关系的分类
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义：设是两条异面直线，经过空间中任一点作直线，
把所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角．
(2)范围：
三、直线与平面的位置关系
位置关系 图示 符号表示 公共点个数
直线在平面内 无数个
直线与平面相交 一个
直线与平面平行 // 0个
四、平面与平面的位置关系
位置关系 图示 符号表示 公共点个数
两个平面平行 // 0个
两个平面相交 无数个(这些公共点均在交线上)
三、问题研讨
问题1 平面的基本性质
例题1 ：以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点共面，点共面，则共面；
③若直线，共面，直线，共面，则直线，共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0　　　　　　　　　B．1 C．2 D．3
解答：①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确；
②中，若，，三点共线，则，，，，有可能不共面；
③中，直线共面没有传递性；
④空间四边形四条线段不共面．故选B．
提炼1：解决共面问题往往有3个技巧
(1)通过共面的公理判断，如：不在同一直线上三点；
(2)利用线线、线面位置关系来判断，如：两平行直线共面，两相交直线共面
(3)借助空间几何体图形来判断，如：长方体，空间四边形等等
问题2 空间两直线的位置关系
例题2：（2016上海文）如图，在正方体中，分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
解析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中直线与都是异面直线，故选D．
例题3：对于直线和平面，下列命题中的真命题是(　　)
A．如果是异面直线，那么
B．如果是异面直线，那么与相交
C．如果共面，那么
D．如果共面，那么与相交
解答：对于选项A，可以与平面相交；对于选项B，可以与平面平行；由于如果 ，∥，则、无公共点，又、共面，所以∥，选项C正确，选项D错误，故选C．
提炼2：解决空间两直线的位置关系问题有2类问题
(1)异面直线位置关系的判断：①反证法：排除相交和平行；②利用异面直线的定义；
(2)位置关系往往借助空间几何体模型来判断，如：长方体等等；
问题3异面直线所成的角
例题4：（2014 新课标II）直三棱柱中，，、分别是， 的中点， ，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解析：直三棱柱中，，、分别是，的中点，如图：的中点为，连结，则有，
所以是平行四边形，与所成角就是，
不妨设，则，，，= ，
在中，由余弦定理可得．故选C．
例题5：在长方体中，，，则异面直线与
所成角的余弦值为
A． B． C． D．
答案：C．解析：先以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C．
提炼3：解决异面直线所成的角问题有2种方法
(1)将异面直线通过平移成相交直线，然后借助解三角形知识：勾股定理、余弦定理等等求解；立体几何平面化过程；
(2)(理科生)建立空间直角坐标系，运用空间向量公式，这里要注意两直线夹角的范围为；体现几何问题代数化过程；
四、总结提升
1．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．
2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．
3． 异面直线的判定方法
判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．　
4．异面直线所成的角的求解
求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
五、即时检测
1．（15年广东文）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交
答案：A 解析：若．与，都不相交，则有，，所以，这与已知条件：直线和是异面直线相矛盾，故至少与，中的一条相交，所以选择A．
2．如图所示，在三棱锥中，分别是和的中点．若，，则与所成的角是_______．
答案： 解析：如图，取的中点，连接，，
则//，//，∴与所成的角为．
又∵，∴
在中，，，所以，
∴，即与所成的角为．
共面直线：
异面直线：不同在任何一个平面内的直线，没有公共点。
相交直线：同一个平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一个平面内，没有公共点
共面直线：
异面直线：不同在任何一个平面内的直线，没有公共点。
相交直线：同一个平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一个平面内，没有公共点

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