资源简介

第51课 直线、平面平行的判定及其性质
一、目标导引.
1.在正方体中，是的中点，则与平面的位置关系是________．
2. (2019全国2卷文7)设为两个平面，则的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行
C. 平行于同一条直线 D. 垂直于同一平面
二、知识梳理
（一）直线与平面平行
1.直线与平面平行的定义
直线l与平面a没有公共点，则称直线l与平面a平行.
2．判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行 ∥
3．性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 ∥
（二）平面与平面平行
1．平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
2．判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
3．两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∥
三、问题研讨
问题1 直线与平面平行的判定与性质
例1. （2019全国文1,19）如图直四棱柱的底面是菱形，，，分别是的中点.
（1）证明：平面
例2.如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形，求证：∥平面.
提炼1：解决直线与平面平行问题往往需要注意：
(1)合理运用线线平行与线面平行转化：；
(2)合理运用初中平几证明线线平行方法：中位线、平行四边形等等；
(3)证明线面平行时，一定要考虑直线不在平面内；即： ∥
问题2 平面与平面平行的判定与性质
例3.如图，在三棱锥中，平面平面，，.过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．
求证：平面∥平面；
提炼2：解决平面与平面平行问题往往需要注意：
(1)面面平行即可以推导出线线平行、也可以推导线面平行；
(2)要证明面面平行，须注意两直线相交且只能由线面平行推导；即
问题3 线面平行、面面平行的综合应用
例4. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，
(1) 求证：直线EG∥平面BDD1B1；
(2) 求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
例5．【2016全国卷Ｉ卷理科11】平面过正方体的顶点，//平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
提炼3：解决立体几何平行问题综合问题须注意：
(1)立体几何中有许多利用平行这个关键条件：异面直线求夹角、空间几何体判断（2016年全国卷理科18题）等等；需要合理运用平行关系的转换：
(2)空间几何中有许多涉及到平行作图问题，除了空间想象能力，也还需要平行关系的逻辑推导；
四、总结提升
1.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．
2．平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)， ∥.
3．线面平行、面面平行的常见性质
(1)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；
(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；
(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；
(4)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行；
(5)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
4．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为
而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
五、即时检测
(1)若直线与平面内无数条直线平行，则与的关系是__________________．
(2)已知直线，和平面，，若，，∥，∥，则与的关系是__________________．
(3)若下列命题正确的是 （ ）
A. 若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行
B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
D. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
　
第51课 直线、平面平行的判定及其性质
一、目标导引.
1.在正方体中，是的中点，则与平面的位置关系是________．
解析：如图所示，连结交于，连结，则是的中位线，∴∥
，又平面，平面，∴∥平面. 答：平行
2. (2019全国2卷文7)设为两个平面，则的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行
C. 平行于同一条直线 D. 垂直于同一平面
解析:根据面面平行的判定定理易得答案B
二、知识梳理
（一）直线与平面平行
1.直线与平面平行的定义
直线l与平面a没有公共点，则称直线l与平面a平行.
2．判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行 ∥
3．性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 ∥
（二）平面与平面平行
1．平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
2．判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
3．两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∥
三、问题研讨
问题1 直线与平面平行的判定与性质
例1. （2019全国文1,19）如图直四棱柱的底面是菱形，，，分别是的中点.
（1）证明：平面
解答：
（1）连结相交于点，再过点作交于点，再连结，.
分别是的中点.
于是可得到，，
于是得到平面平面，
由平面，于是得到平面
例2.如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形，求证：∥平面.
证明：因为四边形为平行四边形，所以∥.又平面，平面，所以∥平面.
而平面平面，平面，
所以∥.
而平面，平面，
所以∥平面.
提炼1：解决直线与平面平行问题往往需要注意：
(1)合理运用线线平行与线面平行转化：；
(2)合理运用初中平几证明线线平行方法：中位线、平行四边形等等；
(3)证明线面平行时，一定要考虑直线不在平面内；即： ∥
问题2 平面与平面平行的判定与性质
例3.如图，在三棱锥中，平面平面，，.过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．
求证：平面∥平面；
证明：因为，，垂足为，所以是的中点．
又因为是的中点，所以∥.
因为平面，平面，所以∥平面.
同理∥平面.又，
所以平面∥平面.
提炼2：解决平面与平面平行问题往往需要注意：
(1)面面平行即可以推导出线线平行、也可以推导线面平行；
(2)要证明面面平行，须注意两直线相交且只能由线面平行推导；即
问题3 线面平行、面面平行的综合应用
例4. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，
(1) 求证：直线EG∥平面BDD1B1；
(2) 求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
解答：（1）连结
分别是的中点，
又平面BDD1B1，平面BDD1B1
EG∥平面BDD1B1
（2）连结，
分别是的中点，
又平面BDD1B1，平面BDD1B1
FG∥平面BDD1B1
又EG∥平面BDD1B1，，平面EFG∥平面BDD1B1
例5．【2016全国卷Ｉ卷理科11】平面过正方体的顶点，//平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A．解析如图所示：
∵//平面，∴若设平面平面，则//
又∵平面∥平面，结合平面平面
∴//，故//，同理可得：//
故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对交线），因此，即．
提炼3：解决立体几何平行问题综合问题须注意：
(1)立体几何中有许多利用平行这个关键条件：异面直线求夹角、空间几何体判断（2016年全国卷理科18题）等等；需要合理运用平行关系的转换：
(2)空间几何中有许多涉及到平行作图问题，除了空间想象能力，也还需要平行关系的逻辑推导；
四、总结提升
1.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．
2．平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)， ∥.
3．线面平行、面面平行的常见性质
(1)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；
(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；
(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；
(4)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行；
(5)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
4．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为
而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
五、即时检测
(1)若直线与平面内无数条直线平行，则与的关系是__________________．
(2)已知直线，和平面，，若，，∥，∥，则与的关系是__________________．
(3)若下列命题正确的是 （ ）
A. 若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行
B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
D. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
解析：(1)由直线与平面平行的定义和判定定理知，可能平行于，也可能在内．
(2)当与相交时，∥；当与平行时，与平行或相交．
(3)B．
　　　

展开更多......

收起↑