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第52课 线面、面面垂直的判定
一、目标导引
1．如图，在矩形中，平面，为的中点.
求证：平面;
2．如图所示，在三棱锥中，底面，为正三角形，、分别是、的中点，证明：平面⊥平面．
二、知识梳理
1．线面、面面垂直的判定
文字语言 图形语言 符号语言
线面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ，
面面垂直判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
三、问题研讨
问题1直线与平面垂直的判定
例1．设，，为平面，，，为直线，则的一个充分条件是（　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例2. （2019全国II文17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
提炼1：解决直线与平面的垂直判定问题一般有三种途径：
(1)运用线面垂直的判定定理： ；
①注意两直线一定相交；②证明线线垂直多运用平面几何知识：勾股定理、三线合一、菱形对角形垂直等等；
(2)运有线面垂直的定义：
(3)运用平行转化也可也证明：
问题2.平面与平面垂直的判定
例题3．（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
提炼2：解决平面与平面垂直判定问题有两种途径：
(1)运用面面垂直判定定理：；注意线线垂直无法推导面面垂直；
(2)特殊情况下，也可以通过二面角为判断两平面垂直；
问题3.线面、面面垂直的判定及其综合应用
例4. （2018年厦门市质检）如图，四棱锥中，侧面底面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为2，求的面积.
提炼3：解决线面、面面垂直的判定综合应用问题须注意：
常见线面、面面垂直的判定综合应用问题：作图问题、线面与面面垂直综合判定问题；
(1)作图问题：一般采用先猜后证；
(2)线面垂直、面面垂直判定共同点：都涉及线线垂直与线面垂直的转化：
四、总结提升
三种垂直关系的证明
(1)判定线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为；
②平面几何中证明线线垂直的方法；
③线面垂直的性质：，
④线面垂直的性质：，
(2)判定线面垂直的常用方法
①利用线面垂直的判定定理；
②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；
③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；
④利用面面垂直的性质．
(3)判定面面垂直的方法
①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
②判定定理：，
五、即时检测：
1．若直线与异面，则过且与垂直的平面（　　）
A． 有且只有一个 B． 可能有一个也可能不存在
C． 有无数多个 D． 一定不存在
2．已知垂直于正方形所在的平面，连接、，、、，则一定互相垂直的平面有(　　)
A．8对 B．7对 C．6对 D．5对
第52课 线面、面面垂直的判定
一、目标导引
1．如图，在矩形中，平面，为的中点.
求证：平面;
证明：在矩形中，为的中点.
,
均为等腰直角三角形，，.
平面.
又平面.
2．如图所示，在三棱锥中，底面，为正三角形，、分别是、的中点，证明：平面⊥平面．
证明：因为底面，所以.
又因为是正三角形，且为的中点，
所以.
又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
二、知识梳理
1．线面、面面垂直的判定
文字语言 图形语言 符号语言
线面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ，
面面垂直判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
三、问题研讨
问题1直线与平面垂直的判定
例1．设，，为平面，，，为直线，则的一个充分条件是（　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
解析：由，可得，又，所以，故答案：D．
例2. （2019全国II文17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
证明：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，
故.
又，所以BE⊥平面.
提炼1：解决直线与平面的垂直判定问题一般有三种途径：
(1)运用线面垂直的判定定理： ；
①注意两直线一定相交；②证明线线垂直多运用平面几何知识：勾股定理、三线合一、菱形对角形垂直等等；
(2)运有线面垂直的定义：
(3)运用平行转化也可也证明：
问题2.平面与平面垂直的判定
例题3．（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
解析（Ⅰ）因为平面ABCD，且平面，
所以．
又因为底面ABCD为菱形，所以．
又平面，平面，，
所以平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD．
又，所以AB⊥AE．
又平面，平面，，所以AE⊥平面PAB．
又平面，所以平面PAB⊥平面．
提炼2：解决平面与平面垂直判定问题有两种途径：
(1)运用面面垂直判定定理：；注意线线垂直无法推导面面垂直；
(2)特殊情况下，也可以通过二面角为判断两平面垂直；
问题3.线面、面面垂直的判定及其综合应用
例4. （2018年厦门市质检）如图，四棱锥中，侧面底面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为2，求的面积.
解：（1）∵平面平面，平面平面，
平面，且，
∴平面.
又∵平面，∴.
又∵，
，平面，
∴平面.
（2）取中点，连接.
∵，∴.
又∵平面，平面平面，
平面平面，
∴平面.
∴为三棱锥的高，且.
又∵，，∴.
∴，得.
.
又∵平面且平面，∴.
∴.
提炼3：解决线面、面面垂直的判定综合应用问题须注意：
常见线面、面面垂直的判定综合应用问题：作图问题、线面与面面垂直综合判定问题；
(1)作图问题：一般采用先猜后证；
(2)线面垂直、面面垂直判定共同点：都涉及线线垂直与线面垂直的转化：
四、总结提升
三种垂直关系的证明
(1)判定线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为；
②平面几何中证明线线垂直的方法；
③线面垂直的性质：，
④线面垂直的性质：，
(2)判定线面垂直的常用方法
①利用线面垂直的判定定理；
②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；
③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；
④利用面面垂直的性质．
(3)判定面面垂直的方法
①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
②判定定理：，
五、即时检测：
1．若直线与异面，则过且与垂直的平面（　　）
A． 有且只有一个 B． 可能有一个也可能不存在
C． 有无数多个 D． 一定不存在
答案：B
2．已知垂直于正方形所在的平面，连接、，、、，则一定互相垂直的平面有(　　)
A．8对 B．7对 C．6对 D．5对
解析：选B　由于平面，故平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，共7对．

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