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第41课 数列综合应用
一、目标导引
某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学。该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）。你会选择哪种方式领取报酬呢？
二、知识梳理
解决数列应用题的基本步骤：
步骤 过程剖析（以常规积累问题为例）
审题 方式一 方式二 方式三
设末知数
找关系
列式
求解检验
规范作答
三、问题研讨
问题1：实际应用
例1.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　)
A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟
例2．黑白两种颜色的正六边形的面砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．
问题2（等差模型）
例题2：从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．
(1)记该款服装四月份日销售量与销售天数n的关系为，求；
(2)求四月份的总销售量．
问题3（等比模型）
例题3：从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业估计收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式；
(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
四、归纳总结
1．数列实际应用问题：
（1）数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．
（2）在试题中常用的数学模型有：
①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；
②通过归纳得到结论，用数列知识求解．
2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法：
（1）数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质（多为单调性）．
（2）数列与不等式结合时需注意放缩．
（3）数列与解析几何结合时要注意递推思想．
五、即时检测
1．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．
2．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．
(1)求该企业2014年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．
第41课 数列综合应用
一、目标导引
某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学。该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）。你会选择哪种方式领取报酬呢？
解：设工作时间为，三种付费方式的前项和分别为，，。第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列。
则，，。
下面考察，，可得时，，因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式。时，，，因此，选用第三种付费方式。
提炼：由实际问题抽象成数学问题，即发现其中的数学模型（本题是数列模型）。
二、知识梳理
解决数列应用题的基本步骤：
步骤 过程剖析（以常规积累问题为例）
审题 方式一 方式二 方式三
设末知数 设工作时间为，三种付费方式的前项和分别为，，
找关系 每天支付38元 第天支付元 第天回报元
列式
求解检验 时，； 时，，
规范作答 ，选用第一种付费方式；时，选用第三种付费方式。
三、问题研讨
问题1：实际应用
例1.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　)
A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟
解析：选B　设至少需n秒钟，则，即，解得.
例2．黑白两种颜色的正六边形的面砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．
解：设第n个图案中白色地面砖有an块，
则，易知，
∴是以6为首项，4为公差的等差数列，
∴.故填.
问题2（等差模型）
例题2：从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．
(1)记该款服装四月份日销售量与销售天数n的关系为，求；
(2)求四月份的总销售量．
解：(1)依题意，数列是首项为10，公差为15的等差数列．
∴，
是首项为，公差为－10的等差数列．
∴，
∴.
(2)四月份的总销售量为 (件)．
问题3（等比模型）
例题2：从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业估计收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式；
(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
解：(1)第一年投入为800万元，第二年投入为万元，　
第n年内的总投入为万元，
所以，n年的投入为：
.
第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为万元．
第n年旅游业收入为万元，
所以，年内的旅游业总收入为
(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，由此bn－an>0，
即，
化简得，
设，代入上式，得，
解此不等式，得或 (舍去)，即，由此得.
故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
四、归纳总结
1．数列实际应用问题：
（1）数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．
（2）在试题中常用的数学模型有：
①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；
②通过归纳得到结论，用数列知识求解．
2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法：
（1）数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质（多为单调性）．
（2）数列与不等式结合时需注意放缩．
（3）数列与解析几何结合时要注意递推思想．
五、即时检测
1．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．
解：设每天增加的数量为x尺，
则，∴.故填.
2．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．
(1)求该企业2014年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．
解：设为年年底分红后的资金，
其中，
则，
，…，．
∴，
∴数列是为首项，2为公比的等比数列．
∴，∴.
(1) ，
∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元．
(2)由，即，得，
∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．

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