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第六单元 不等式
一级结构 二级结构 主要内容 复习目标 教学策略
知识内容 不等式知识结构 整体认识不等关系、不等式的性质 正确理解和运用不等式的性质 整体感悟
方法程序 一元二次不等式 二次不等式的解法、三个二次的关系 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2． 结合图像了解“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．3． 熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法． 方法归纳
二元一次不等式 平面区域、线性规划问题 1．掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)．2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合． 方法归纳
基本不等式 基本不等式及应用 1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题． 方法归纳
第42课 不等式知识结构
一、目标导引
如图，C为线段AB上的点，且，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．结合图中的几何关系，你能得到哪些不等关系．
组织汇报、交流．教师提炼，揭示课题：不等式的复习整理．
答：显然， 在中，由射影定理易于得到，．又因为∽，所以，则DE=
由几何关系（直角三角形的斜边大于直角边），
有
二、不等式知识结构
1．不等式的主要知识点
序号 主要知识点
1 不等关系与不等式——不等式的实际背景；不等式的基本性质．
2 一元二次不等式——一元二次不等式的解法；一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；求解一元二次不等式的方法及程序框图．
3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题——二元一次不等式（组）表示平面区域；简单的线性规划问题．
4 基本不等式——基本不等式的证明；应用基本不等式证明和求解最值问题．
2．不等式的知识框架
一级结构 二级结构 三级结构 思想方法
不等式 不等关系 不等式与不等式组表示不等关系 数学模型
不等式的性质 不等式的基本性质及其应用 中间量法公理化方法
一元二次不等式 解法 一元二次不等式的解法，三个二次之间的关系 数形结合
应用 高次不等式与有理不等式的解法
二元一次不等式 二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式（组）表示平面区域
简单的线性规划问题 相关概念：约束条件、可行域、可行解
典型目标：斜率、距离（点线距离、点点距离）、截距
基本不等式 基本不等式 公式、几何解释、证明 化归与转化
基本不等式的应用 应用基本不等式求解条件最值和参数范围问题
应用基本不等式证明不等式
三、问题研讨
问题1（用不等式组表示不等关系）
例1：某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500．写出满足上述所有不等关系的不等式．
问题2（不等式的性质）
例题2：若，则下列命题：(1)；(2) ；(3)；
(4)中能成立的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【提练】不等式的8条基本性质中，要特别注意可加性和可乘性的应用．
问题3（比较大小）
例3（1）．已知，，则和的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解析】；．
答案 D
（2）：设，试比较与的大小；
【提练】比较两个数或式的大小，常见的方法有作差法和作商法；作差法一般是作差、因式分解（配方），再与0作比较；比商法一般是和1作比较，但要注意分母的正负．
（3）（2018年高考天津卷理）已知，，，则a，b，c的大小
关系为　　
A． B． C， D．
【提练】比较大小的问题，常可以引入中间变量0或1，也可以利用函数图象．
问题4（不等式性质应用）
例4．（不等式性质应用）若角满足，则的取值范围是________．
【提练】本题主要考查不等式在三角函数中的应用．
四、总结提升
回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的学习中有哪些易错点，需要注意哪些细节？
五、随堂小测
1．设，，则下列不等式中不一定成立的是　　
A． B． C． D．
2．已知，，，则　　
A． B． C． D．
第六单元 不等式
一级结构 二级结构 主要内容 复习目标 教学策略
知识内容 不等式知识结构 整体认识不等关系、不等式的性质 正确理解和运用不等式的性质 整体感悟
方法程序 一元二次不等式 二次不等式的解法、三个二次的关系 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2． 结合图像了解“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．3． 熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法． 方法归纳
二元一次不等式 平面区域、线性规划问题 1．掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)．2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合． 方法归纳
基本不等式 基本不等式及应用 1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题． 方法归纳
第42课 不等式知识结构
一、目标导引
如图，C为线段AB上的点，且，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．结合图中的几何关系，你能得到哪些不等关系．
组织汇报、交流．教师提炼，揭示课题：不等式的复习整理．
答：显然， 在中，由射影定理易于得到，．又因为∽，所以，则DE=
由几何关系（直角三角形的斜边大于直角边），
有
二、不等式知识结构
1．不等式的主要知识点
序号 主要知识点
1 不等关系与不等式——不等式的实际背景；不等式的基本性质．
2 一元二次不等式——一元二次不等式的解法；一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；求解一元二次不等式的方法及程序框图．
3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题——二元一次不等式（组）表示平面区域；简单的线性规划问题．
4 基本不等式——基本不等式的证明；应用基本不等式证明和求解最值问题．
2．不等式的知识框架
一级结构 二级结构 三级结构 思想方法
不等式 不等关系 不等式与不等式组表示不等关系 数学模型
不等式的性质 不等式的基本性质及其应用 中间量法公理化方法
一元二次不等式 解法 一元二次不等式的解法，三个二次之间的关系 数形结合
应用 高次不等式与有理不等式的解法
二元一次不等式 二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式（组）表示平面区域
简单的线性规划问题 相关概念：约束条件、可行域、可行解
典型目标：斜率、距离（点线距离、点点距离）、截距
基本不等式 基本不等式 公式、几何解释、证明 化归与转化
基本不等式的应用 应用基本不等式求解条件最值和参数范围问题
应用基本不等式证明不等式
三、问题研讨
问题1（用不等式组表示不等关系）
例1：某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500．写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解析】设甲、乙两种产品的产量分别为，
则由题意可知
【提练】　(1)常见的文字语言与符号语言之间的转换：
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言 ＞ ＜ ≥ ≤
(2)注意变量的实际意义：体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数．
问题2（不等式的性质）
例题2：若，则下列命题：(1)；(2) ；(3)；
(4)中能成立的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】　∴(1)错误．
∵，∴∴，∴，∴(2) 错误．
∵，∴，∵，∴∴，∴(3)正确．
∵∴，∴∴∴
∴∴(4)正确，故选B．
答案　B
【提练】不等式的8条基本性质中，要特别注意可加性和可乘性的应用．
问题3（比较大小）
例3（1）．已知，，则和的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解析】；．
答案 D
（2）：设，试比较与的大小；
【解析】方法一（作差）
∵，
∴
∴
方法二：，
，，
∴
【提练】比较两个数或式的大小，常见的方法有作差法和作商法；作差法一般是作差、因式分解（配方），再与0作比较；比商法一般是和1作比较，但要注意分母的正负．
（3）（2018年高考天津卷理）已知，，，则a，b，c的大小
关系为　　
A． B． C， D．
【解析】，排除A，B；，；
故选D．
【提练】比较大小的问题，常可以引入中间变量0或1，也可以利用函数图象．
问题4（不等式性质应用）
例4．（不等式性质应用）若角满足，则的取值范围是________．
【解析】
∴
【提练】本题主要考查不等式在三角函数中的应用．
四、总结提升
回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的学习中有哪些易错点，需要注意哪些细节？
五、随堂小测
1．设，，则下列不等式中不一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解析】因为在上是增函数，所以，
因为在在上是减函数，所以，
因为，所以，
当是，，所以不成立，
故选：．
2．已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解析】解：，，；．
故选：．

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