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第43课 一元二次不等式及其解法
一、目标导引
1.（1）解关于的不等式
（2）关于的不等式的解集是，则实
2.一元二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式之间有怎样的内在联系？
二、知识梳理
三个二次之间的关系
判别式
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
的解集
的解集
三、问题研讨
问题1（解不等式）
例题1：解下列不等式：
（1） （2） （3） （4）
【提练】一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式
或．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
问题2（解含参数的一元二次不等式）
例题2（1）解关于的不等式
（2）（2018年高考全国1卷改编）解关于的不等式
（3）解关于的不等式()
【提练】解含参的一元二次不等式，要注意找准参数讨论的切入点。常见的讨论点开口、有无实根、根的大小等。
问题3（二次不等式恒成立问题）
例题3：已知函数.
(1)若对于，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围;
【提练】设二次函数 则
（1）对于任意的 恒成立
对于任意的 恒成立
（2）对于任意的 恒成立
对于任意的 恒成立
四、总结提升
1.组织学生回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的学习中有哪些易错点，需要注意哪些细节？
2.处理与一元二次不等式有关的问题的基本思想方法是什么？
数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。
3. 你能得出解含参数的与一元二次不等式有关的问题的讨论依据和步骤吗？
一般，按照“二次项系数→判别式→根的大小”的顺序展开讨论。
五、随堂小测
1. （2016年高考上海卷文理）设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为　　
A．或 B．或 C． D．
第43课 一元二次不等式及其解法
一、目标导引
1.（1）解关于的不等式
（2）关于的不等式的解集是，则实
2.一元二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式之间有怎样的内在联系？
二、知识梳理
三个二次之间的关系
判别式
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
的解集
的解集
三、问题研讨
问题1（解不等式）
例题1：解下列不等式：
（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）原不等式可化为，∴，∴，
∴原不等式的解集为．
（2）原不等式可化为，∴，∴，且，
∴原不等式的解集为．
（3）原不等式可化为， ∵，
∴不等式可化为，∴原不等式的解集为．
（4）原不等式可化为，解得 或，
∴原不等式的解集为
【提练】一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式
或．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
问题2（解含参数的一元二次不等式）
例题2（1）解关于的不等式
【解析】原不等式化为
当时，原不等式化为，无解．
当时，原不等式化为，∴或．
当时，原不等式化为，∴．
综上：当时，解集为；
当时，解集为
当时，解集为．
（2）（2018年高考全国1卷改编）解关于的不等式
【解析】当，即时，不等式的解集为：；
当，即或时，
若，则不等式的解集为：
若，则不等式的解集为：；
（3）解关于的不等式()
【解析】方程，
（1）当即 时， ，
（2）当 即 时，
（3）当 即 时，
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
【提练】解含参的一元二次不等式，要注意找准参数讨论的切入点。常见的讨论点开口、有无实根、根的大小等。
问题3（二次不等式恒成立问题）
例题3：已知函数.
(1)若对于，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围;
【解析】 (1)不等式对一切实数都成立，
当时，原不等式化为，显然成立．
当时，则，即，解得，
综上：实数的取值范围是．
(2)依题意得，在上恒成立．
当时，原不等式化为，显然成立．
当时，的对称轴为，∴在上单调递增，
∴，∴
当时，的对称轴为，∴在上单调递减，
∴，
综上：
【提练】设二次函数 则
（1）对于任意的 恒成立
对于任意的 恒成立
（2）对于任意的 恒成立
对于任意的 恒成立
四、总结提升
1.组织学生回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的学习中有哪些易错点，需要注意哪些细节？
2.处理与一元二次不等式有关的问题的基本思想方法是什么？
数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。
3. 你能得出解含参数的与一元二次不等式有关的问题的讨论依据和步骤吗？
一般，按照“二次项系数→判别式→根的大小”的顺序展开讨论。
五、随堂小测
1. （2016年高考上海卷文理）设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】：，所以是充分非必要条件，选A.
2．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为　　
A．或 B．或 C． D．
【解析】不等式对一切实数都成立，
当时，原不等式化为，显然不成立．
则，即，解得。所以实数的取值范围是．选C

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