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第45课 基本不等式
一、目标导引
1.函数的值域为(　　)
A．　 B．
C． D．
2.算术平均数与几何平均数
设，则的算术平均数为________，几何平均数为________，
基本不等式可叙述为：________________________________________________.
二、知识梳理
1．基本不等式
(1)基本不等式成立的条件：
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设，则的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为 ．
4．利用基本不等式求最值问题
已知，则
(1)如果积是定值p，那么当且仅当 时，有最小值是.(简记：积定和最小)
(2)如果和是定值p，那么当且仅当 时，有最大值是.(简记：和定积最大)
三、课堂研讨
问题1（利用基本不等式求最值）
例题1：(1)若，则的最小值是　　
A．0 B．1 C．2 D．4
(2) 已知，则取最大值时的值是　　
A． B． C． D．
(3) 若对任意的正数，满足，则的最小值为　　
A．6 B．8 C．12 D．24
问题2（基本不等式在证明不等式中的应用）
例题2：已知，求证：
问题3　（基本不等式的实际应用）
例题3：如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．
（1）求广告牌的面积关于的函数；
（2）求广告牌的面积的最小值．
四、总结提升
1.对都成立；成立的条件是；成立的条件是．
2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值.
3.使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数；当时函数在上是减函数，在上是增函数；当时，可作如下变形：来解决最值问题.
五、随堂小测
1. 《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在上取一点，使得，，
过点作交圆周于，连接．作交于．
由可以证明的不等式为　　
A． B．
C． D．
2.(2018天津) 已知，且，则的最小值为
第45课 基本不等式
一、目标导引
1.函数的值域为(　　)
A．　 B．
C． D．
【解析】：选C　∴，当且仅当时取等号．
2.算术平均数与几何平均数
设，则的算术平均数为________，几何平均数为________，
基本不等式可叙述为：________________________________________________.
【解析】设，则的算术平均数为，几何平均数为，
基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
二、知识梳理
1．基本不等式
(1)基本不等式成立的条件：
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设，则的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知，则
(1)如果积是定值p，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小)
(2)如果和是定值p，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大)
三、课堂研讨
问题1（利用基本不等式求最值）
例题1：(1)若，则的最小值是　　
A．0 B．1 C．2 D．4
(2) 已知，则取最大值时的值是　　
A． B． C． D．
(3) 若对任意的正数，满足，则的最小值为　　
A．6 B．8 C．12 D．24
【解析】(1)，，则，
当且仅当即时，取得最小值4，
故选：．
(2) ，则
当且仅当即取等号
故选：．
(3) 任意的正数，满足
所以则，
因为：，所以，
（当且仅当时，，时，等号成立），
故选：．
问题2（基本不等式在证明不等式中的应用）
例题2：已知，求证：
【解析】证明：因为，所以
同理所以
所以 (当且仅当时等号成立)．
问题3　（基本不等式的实际应用）
例题3：如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．
（1）求广告牌的面积关于的函数；
（2）求广告牌的面积的最小值．
【解析】（1）依题意广告牌的高为，则，
所以，且，
所以广告牌的面积．
（2）由（1）知，
，
当且仅当，即号成立．所以（7），
所以广告牌的面积的最小值为61.25．
四、总结提升
1.对都成立；成立的条件是；成立的条件是．
2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值.
3.使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数；当时函数在上是减函数，在上是增函数；当时，可作如下变形：来解决最值问题.
五、随堂小测
1. 《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在上取一点，使得，，
过点作交圆周于，连接．作交于．
由可以证明的不等式为　　
A． B．
C． D．
【解析】由射影定理可知，即，
由得，故选：．
2.(2018天津) 已知，且，则的最小值为
【答案】
【解析】，等号成立当且仅当．

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