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第七篇 立体几何
第44课 空间几何体的结构及其三视图和直观图
一、目标导引
1.空间几何体有那些类型，请尝试画出每种类型中一些常见的空间几何体的简图，并画出其相应的三视图；
2.如图，是一个等腰直角三角形，它是用斜二测画法所得到的直观图，请动手画出的形状，并判断和面积的关系：______，再思考，将三角形换成任意平面多边形，原图和直观图之间有关面积的结论还成立吗？
二、知识梳理
1.多面体的结构特征
多面体 结构特征
棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
2.旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
3．简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的轴、轴，两轴相交于点，画直观图时，把它们画成对应的轴、轴，两轴相交于点，且使＝ ，已知图形中平行于 的线段，在直观图中平行于 ．已知图形中平行于 的线段，在直观图中 ，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过点作轴垂直于平面，在直观图中对应的轴，也垂直于平面，已知图形中平行于 的线段，在直观图中仍 ．
4.在画三视图时，可见的线要画成 ，存在但不可见的线，一定要画成 .
画三视图的基本要求是：“ ”. 三视图摆放规则是： .
三、问题研讨
问题1 空间几何体的结构特征
例题1：给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③棱台的侧棱延伸后交于一点；④三条侧棱长都相等的三棱锥是正三棱锥；⑤在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；⑥若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱．其中说法正确的是________．
问题2 空间几何体的三视图
例题2：如图，在长方体中，点是棱上一点，则三棱锥的左视图是(　　)
变式1：某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
1 2 3 4
问题3 空间几何体的直观图
例题3：一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为30°，腰和上底均为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( 　)
A．　　　B. C. 　 D．
[变式一]：如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，请画出该几何体的直观图．
四、总结提升
1．三视图的还原问题
由三视图还原几何体是解答三视图问题的重要手段和方法，在明确三视图画法规则的基础上，按以下步骤可轻松解决：
2．斜二测画法的要求
“三变”
“三不变”
3.球截面的几何性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系：.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.
五、即时检测
1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱
2．正方体中，为棱的中点，若用过点，，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为(　　)
第七篇 立体几何
第44课 空间几何体的结构及其三视图和直观图
一、目标导引
1.空间几何体有那些类型，请尝试画出每种类型中一些常见的空间几何体的简图，并画出其相应的三视图；
2.如图，是一个等腰直角三角形，它是用斜二测画法所得到的直观图，请动手画出的形状，并判断和面积的关系：______，再思考，将三角形换成任意平面多边形，原图和直观图之间有关面积的结论还成立吗？
1.答：空间几何体包括多面体（棱柱、棱锥、棱台）；旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
2.解：原图和直观图的面积关系：
对于一切平面多边形均成立．
二、知识梳理
1.多面体的结构特征
多面体 结构特征
棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
2.旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
3．简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的轴、轴，两轴相交于点，画直观图时，把它们画成对应的轴、轴，两轴相交于点，且使＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过点作轴垂直于平面，在直观图中对应的轴，也垂直于平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
4.在画三视图时，可见的线要画成实线，存在但不可见的线，一定要画成虚线. 画三视图的基本要求是：“正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高”. 三视图摆放规则是：上面是正视图和侧视图，正视图下方是俯视图.
三、问题研讨
问题1 空间几何体的结构特征
例题1：给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③棱台的侧棱延伸后交于一点；④三条侧棱长都相等的三棱锥是正三棱锥；⑤在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；⑥若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱．其中说法正确的是________．
解答：①错误，底面是矩形的四棱柱可能为斜四棱柱；②错误，绕着直角三角形的斜边旋转得到的几何体不是圆锥；③正确，根据棱台的概念可得；④错误，当三棱锥的三条侧棱长都相等时，其底面不一定是正三角形，故不一定是正三棱锥；⑤错误，不符合圆柱母线的定义；⑥正确，因为过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面．故答案为③⑥
提炼1：解决与空间几何体结构特征有关问题3个技巧
(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；
(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；
(3)通过反例对结构特征进行辨析．
问题2 空间几何体的三视图
例题2：如图，在长方体中，点是棱上一点，则三棱锥的左视图是(　　)
解析：在长方体中，从左侧看三棱锥，、、的射影分别是、、；的射影为，且为实线，的射影为，且为虚线．故选.
变式1：某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
1 2 3 4
答案：C
提炼2：1．已知几何体，识别三视图的技巧
已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．
2．已知三视图，判断几何体的技巧
(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．
(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．
(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．
问题3 空间几何体的直观图
例题3：一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为30°，腰和上底均为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( 　)
A．　　　B. C. 　 D．
解答：由易算得答案为B.
[变式一]：如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，请画出该几何体的直观图．
解析：根据题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息，构造边长为4的正方体，并在其中还原出该几何体（多面体），其直观图如下图所示．
提炼3：原图与直观图中的“三变”与“三不变”
(1)“三变”
(2)“三不变”
四、总结提升
1．三视图的还原问题
由三视图还原几何体是解答三视图问题的重要手段和方法，在明确三视图画法规则的基础上，按以下步骤可轻松解决：
2．斜二测画法的要求
“三变”
“三不变”
3.球截面的几何性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系：.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.
五、即时检测
1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱
解答：选D．圆柱的三视图，分别是矩形、矩形、圆，不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形．
2．正方体中，为棱的中点，若用过点，，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为(　　)
解答：选C．解析：设棱的中点为，则过点，，的截面为平面，故剩余几何体的左视图为C．
点与线
空间点、
线、面的
位置关系
点在直线上
点在直线外
点与面
点在面内
点在面外
线与线
共面直线
异面直线
相交
平行
没有公共点
只有一个公共点
线与面
平行
相交
有公共点
没有公共点
直线在平面外
直线在平面内
面与面
平行
相交
平行关系的相互转化
垂直关系的相互转化
线线
平行
线面
平行
面面
平行
线线
垂直
线面
垂直
面面
垂直
空间的角
异面直线所成的角
直线与平面所成的角
二面角
范围：(0，90]
范围：[0，90]
范围：[0，180]
点到面的距离
直线与平面的距离
平行平面之间的距离
相互之间的转化
cos＝ eq \o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(b,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(a,\s\up4(→))|·|\o(b,\s\up4(→))|))
sin＝ eq \o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(n,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(a,\s\up4(→))|·|\o(n,\s\up4(→))|))
cos＝ eq \o(\s\up5(\o(n1,\s\up4(→))·\o(n2,\s\up4(→))),——,\s\do7(|\o(n1,\s\up4(→))|·|\o(n2,\s\up4(→))|))
d＝ eq \o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(n,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(n,\s\up4(→))|))
空间向量
空间直角坐标系
空间的距离
空间几何体
柱体
棱柱
圆柱
正棱柱、长方体、正方体
台体
棱台
圆台
锥体
棱锥
圆锥
球
三棱锥、四面体、正四面体
直观图
侧面积、表面积
三视图
体积
长对正
高平齐
宽相等
点与线
空间点、
线、面的
位置关系
点在直线上
点在直线外
点与面
点在面内
点在面外
线与线
共面直线
异面直线
相交
平行
没有公共点
只有一个公共点
线与面
平行
相交
有公共点
没有公共点
直线在平面外
直线在平面内
面与面
平行
相交
平行关系的相互转化
垂直关系的相互转化
线线
平行
线面
平行
面面
平行
线线
垂直
线面
垂直
面面
垂直
空间的角
异面直线所成的角
直线与平面所成的角
二面角
范围：(0，90]
范围：[0，90]
范围：[0，180]
点到面的距离
直线与平面的距离
平行平面之间的距离
相互之间的转化
cos＝ eq \o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(b,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(a,\s\up4(→))|·|\o(b,\s\up4(→))|))
sin＝ eq \o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(n,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(a,\s\up4(→))|·|\o(n,\s\up4(→))|))
cos＝ eq \o(\s\up5(\o(n1,\s\up4(→))·\o(n2,\s\up4(→))),——,\s\do7(|\o(n1,\s\up4(→))|·|\o(n2,\s\up4(→))|))
d＝ eq \o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(n,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(n,\s\up4(→))|))
空间向量
空间直角坐标系
空间的距离
空间几何体
柱体
棱柱
圆柱
正棱柱、长方体、正方体
台体
棱台
圆台
锥体
棱锥
圆锥
球
三棱锥、四面体、正四面体
直观图
侧面积、表面积
三视图
体积
长对正
高平齐
宽相等

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