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第49课 柱、锥、台、球的表面积与体积
一、目标导引
例：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何 ”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,你能估算出堆放的米约有多少斛吗？
二、知识梳理
柱、锥、台和球的表面积和体积
名称几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
三、问题研讨
问题1 柱体的表面积与体积
例题1：如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ，体积为 .
变式1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
问题2 锥体的表面积与体积
例题2：半径为的半圆卷成一个圆锥，该圆锥的表面积为 ，体积为 ．
变式2：如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为______．
问题3 台体的表面积与体积
例题3：某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的表面积为 ，体积
是________．
问题4 球的表面积与体积
例题4.已知是球的直径上一点，，⊥平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______.
四、总结提升
1.几何体表面积的求法：
（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和；
（2）旋转体：其表面积等于其侧面面积与底面积的和；
（3）规则几何体：若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球体，则可利用公式直接求解；
（4）若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各个元素间的 位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
2.旋转体侧面积的求法：
计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开为平面图形来解，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.
3.几何体体积的求法：
（1）规则几何体体积：若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球体，则可利用体积公式直接求解；
（2）非规则几何体体积：若所给的几何体是不规则的几何体，其体积往往采用分割或补形的方法求解，即将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解.
五、即时检测
1. 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_________．
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
第49课 柱、锥、台、球的表面积与体积
一、目标导引
例：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何 ”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,你能估算出堆放的米约有多少斛吗？
解析：设圆锥底面半径为,则，即，所以米堆的体积为，故堆放的米约为斛.
二、知识梳理
柱、锥、台和球的表面积和体积
名称几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥) ][:]
台体(棱台和圆台)
球
三、问题研讨
问题1 柱体的表面积与体积
例题1：如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ，体积为 .
解析：由三视图可知，该几何体为一长方体上面放着一样大小的半圆柱，其中长方体的长为4， 宽为2， 高为1， 半圆柱的底面半圆的半径为1， 高为2， 故该简单组合体的表面积为 ，体积．
变式1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
问题2 锥体的表面积与体积
例题2：半径为的半圆卷成一个圆锥，该圆锥的表面积为 ，体积为 ．
解析：设该圆锥的底面半径为，则有，即
所以该圆锥的高为，故该圆锥的表面积为，
圆锥的体积为．
变式2：如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为______．
答案：
问题3 台体的表面积与体积
例题3：某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的表面积为 ，体积
是________．
解析：由三视图可知，该几何体为一个四棱台，四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1,2,2，故该四棱台的体积，四棱台的表面积为．
问题4 球的表面积与体积
例题4.已知是球的直径上一点，，⊥平面，为垂足，平面截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______.
解析：因为平面截球所得截面的面积为，所以截面圆的半径为.设球的半径为,则,,由勾股定理得，解得，所以球的表面积为，故答案为.
四、总结提升
1.几何体表面积的求法：
（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和；
（2）旋转体：其表面积等于其侧面面积与底面积的和；
（3）规则几何体：若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球体，则可利用公式直接求解；
（4）若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各个元素间的 位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
2.旋转体侧面积的求法：
计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开为平面图形来解，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.
3.几何体体积的求法：
（1）规则几何体体积：若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球体，则可利用体积公式直接求解；
（2）非规则几何体体积：若所给的几何体是不规则的几何体，其体积往往采用分割或补形的方法求解，即将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解.
五、即时检测
1. 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_________．
解析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为，因此体积为．
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
解析：由三视图可知，该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体，由图中数据可知，三棱锥的体积为，半个圆柱的体积为，所以几何体的体积为．

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