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第54课 两条直线的位置关系 点到直线的距离
一、目标导引
1. 两条直线的位置关系有几种？可以利用什么方法来判断？
答：平行、重合、相交（包括垂直）；
方法一：（代数法）可以将两直线方程联立，考查方程组的解的个数，从而确定位置关系；
方法二：（几何法）研究直线的斜率、截距存在的关系。
2. 已知四边形的三个顶点的坐标分别为，，，，试用多种方法证明：该四边形为矩形
解析：第一步：先证明该四边形为平行四边形，可以采取的方法有
①斜率法：证明四边形两组对边分别斜率相等，即所在直线平行；
②向量法：证明四边形一组对边向量相等；
③对角线：证明四边形两条对角线的中点重合.
第二步：证明该四边形为矩形，可以采取的方法有
①斜率法：证明四边形两条相邻边（如、）所在的直线斜率互为负倒数；
②向量法：证明两条相邻边所对应的向量（如、）数量积为零；
③对角线：证明两对角线、长度相等；
④距离公式：证明点到直线的距离等于线段的长.
二、知识梳理
1．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行：
①若，，则有且，
重合
②若，
则有且或且，重合，或且.
（2）两条直线垂直：
①若，，则有
②若，
2．两条直线的交点的求法
直线，，则与的交点坐标就是方程组的解．
3．距离
，两点之间的距离
点到直线的距离
平行线与间距离
三、问题研讨
问题1　两条直线平行与垂直
例1.已知直线：和直线：.
（1）若平行，求的值；
（2）若平行，求的值.
提炼：两直线平行，考虑两直线斜率和截距；或系数间关系，注意重合情况.
例2.直线过点，且分别满足下列条件的l的方程.
（1）与直线3x – y + 5 = 0平行；
解：依题设的方程为
又过，
的方程为
（2）与直线x – 2y – 3 = 0垂直；
解： 依题设的方程为
又过，
的方程为
或解：已知直线的斜率为
的斜率为
的方程为，即
提炼：从直线斜率关系考虑或直线系
（3）原点到的距离为2；
解：当的斜率不存在时，的方程为，符合题意
当的斜率存在时，设的方程为，即
，
此时的方程为
综上，的方程为或
变式：原点到距离最大；
解：依题意，当时，原点到距离最大
，即
另解：当的斜率不存在时， 的方程为
此时到的距离为
当的斜率存在时，设的方程为，即
到的距离
，利用导数求之最值.
提炼：假设直线方程点斜式时，要考虑直线斜率是否存在的情况
问题3　对称问题
例3.在中,边上的高所在的直线方程为,的平分线所在直线方程为,若点的坐标为,求点和点的坐标.
解： 点既在边的高线上,又在的平分线上,
由得，
∴,而轴是角的平分线,
∴,
∴边所在直线方程为 ①
又, ∴边所在直线方程为 ②
联立① ②得的坐标为.
提炼：对称问题本质抓住点关于点，点关于线对称，要注意一些特殊结论（如当对称直线时）的记忆
四、总结提升
1．平行垂直要考虑重合问题
2．处理距离问题的2大策略
（1）点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．
（2）动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．
3．中心对称问题的2个类型及求解方法
（1）点关于点对称：由中点坐标公式求解．
（2）直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．轴对称问题的2个类型及求解方法
（1）点关于直线的对称：垂直、平分建立方程组
（2）直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
5．几种常用的直线系方程
五、即时检测
1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
解：设点关于直线的对称点，
的中点为，
故解得，
要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为.
2.若分别为直线与上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．　　 　B． C． D．
解（1）选B　由直线与平行得，即，所以“直线与平行”是“ ”的必要不充分条件．
（2）选C　因为，所以两直线平行，
由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离，
即
所以的最小值为.

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