资源简介

第53课 倾斜角与斜率 直线的方程
一、目标导引
1. 确定一条直线需要知道哪些几何量？由这些几何量如何确定直线方程？
2. 求经过点且倾斜角为的直线方程.
1. 答：已知直线上的两个点，或者知道直线上的一个点和直线的倾斜角（斜率），
若斜率存在，可采用点斜式建立方程。
2. 解：倾斜角为的直线垂直于轴，所求直线方程为.
二、知识梳理
1．直线的倾斜角
（1）定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．
（2）倾斜角的范围为．
2．直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即，倾斜角是的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式
经过两点,的直线的斜率公式为
3．直线的方程
名称 几何条件 方程 局限性
点斜式 过点，斜率为 不含垂直于轴的直线
斜截式 斜率为，纵截距为 不含垂直于轴的直线
两点式 过两点， 不包括垂直于坐标轴的直线
截距式 在轴、轴上的截距分别为， 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 (，不全为0)
三、问题研讨
问题1.倾斜角、斜率、直线方程
例1.直线过点，且分别满足下列条件的l的方程
（1）其倾斜角的正弦值是；
解：设的倾斜角为，则
的方程为，即或
提炼：倾斜角与斜率之间关系，即斜率是倾斜角的正切值；已知角的三角函数值求值.
（2）其倾斜角是直线的倾斜角的一半；
解：已知直线的倾斜角为
的倾斜角为
的斜率为
的方程为，即
变式1：其倾斜角是直线的倾斜角的一半；
变式2：其倾斜角是直线x – 3y + 4 = 0的倾斜角的两倍；
解：设已知直线倾斜角为，则
的斜率
的方程为，即
（3）若夹在两坐标轴间的线段被点P平分；
解：依题与轴交点分别为
的方程为，即
另解：依题的斜率存在，设其方程为
与轴交点分别为
为中点，得
的方程为
提炼：直线与坐标轴交点；中点坐标公式.
（4）若l在x轴、y轴上的截距相等；
解：依题设的方程为或
又过，或
或
的方程为或，即或
变式1：在x轴上的截距是y轴上截距的2倍；
变式2：若l在x轴、y轴上的截距互为相反数；
提炼：根据直线已知条件的特点，恰当假设方程形式.
（5）设与x轴、y轴的正半轴交于M , N两点：
① 若；
② 当取最小值；
③取到最小值时；
④当取最小值时.
解：①设的方程为
则，
解得
的方程为，即
另解：设的方程为
令，得； 令，得
，解得
的方程为，即
②设的方程为
则，
又
，即
，当，即时，
当取最小值时， 的方程为，即.
另解：设的方程为
令，得； 令，得
当，即，取最小值时，
的方程为，即.
③ 设的方程为
则
又 ，，且
当，即时， 取到最小值，
此时
的方程为，即
另解：设的方程为
令，得；令，得
当，即，取最小值时，
的方程为，即.
④设，则
则
当，即时，取最小值
的方程为，即.
四、总结提升
（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率的取值范围．
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围．
求倾斜角时要注意斜率是否存在．　
（2）斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据求斜率．
②公式法：若已知直线上两点,，一般根据斜率公式
求斜率．
（3）直线方程求法中2个注意点
①在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
②对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
（4）处理直线方程综合应用的2大策略
①含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
②求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
五、即时检测
1.直线的倾斜角的变化范围是(　　)
A．　　 B． C． D．
解：直线的斜率.由于，
所以，因此.设直线的倾斜角为，
则有．
由于，所以，即倾斜角的变化范围是.
2．将直线：绕着其上一点沿逆时针方向旋转，所得直线的方程为 .
解：由于直线的斜率为，故它的倾斜角为，故旋转后得到的直线的倾斜角为，故的斜率为，直线的方程为．

展开更多......

收起↑