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第55课 圆的标准方程与一般方程
一、目标导引
1.已知点在圆的外部，求实数的取值范围.
2.圆心在直线上，且与直线相切于点，求圆的标准方程．
1.解析： ∴
∴.
2.解：设所求方程为，
根据已知条件得解得
因此所求圆的标准方程为.
二、知识梳理
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准 方程 圆心：，半径：
一般 方程 圆心：， 半径：
2．点与圆的位置关系
点与圆的位置关系：
（1）若在圆外，则.
（2）若在圆上，则.
（3）若在圆内，则.
三、问题研讨
问题1 求圆的方程
例1. 的三个顶点为.求外接圆的标准方程.
解：思路1（代数法）：设其外接圆方程为:，则
,
外接圆的标准方程为:.
思路2（几何法 1）：可以判断，所以边为直径,中点为圆心，圆心，
半径,所以△ABC外接圆的标准方程为:.
思路3（几何法2）：先求、的中垂线方程，联立得到圆心，
提炼：设圆方程应适当选择标准方程或一般方程
问题2　与圆有关的最值问题
已知实数，满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值．
解：原方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆．
（1）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设，即.
当直线与圆相切时(如图)，斜率取最大值或最小值，
此时，解得
所以的最大值为，最小值为.
（2）可看作是直线在轴上的截距，如图所示，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得.所以的最大值为，最小值为.
（3）如图所示，表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为
所以的最大值是，
的最小值是.
提炼：处理圆中的最值问题时，理解所求式子的几何意义及数形结合或选择参数.
问题3 与圆有关的轨迹问题
例题3 已知圆上一定点，为圆内一点，，为圆上的动点．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程．
解：（1）设AP的中点为，由中点坐标公式可知，P点坐标为．
因为P点在圆上，所以.
故线段AP中点的轨迹方程为.
（2）设PQ的中点为，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以.
故线段PQ中点的轨迹方程为
提炼：与圆有关的轨迹问题常采用相关点法
问题4　圆的几何性质的应用
例4 （2019全国Ⅰ文21）已知点，关于坐标原点对称，，⊙过点，且与直线相切．
（1）若在直线上，求⊙的半径；
（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由．
解：（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.
因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.
由已知得，又，故可得，解得或.
故的半径或.
（2）存在定点，使得为定值.
理由如下：
设，由已知得的半径为.
由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.
因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
所以.
因为，所以存在满足条件的定点P.
四、总结提升
（一）有关方程
1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与降低解题的难度.
2. 圆的直径式方程:以点为直径端点的圆方程：
3.圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为；
（二）有关最值
（1）借助几何性质求最值
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
（2）建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．
（三）求与圆有关的轨迹方程的方法
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程．
（3）几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
五、即时检测
1．已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则=_____，=______.
解：解法一：如图，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得．
所以圆心为（0，-2），则半径．
解法二：由，得
所以.

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