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第60课 直线与圆 圆与圆的位置关系
一、目标导引
1.直线与圆的位置关系有哪些？如何判断？
2.圆与圆相交，求实数的取值范围.
1.答：直线与圆的位置关系有相交、相切、相离.几何法（圆心到直线距离与半径大小关系）与代数法（联立直线与圆的方程，消元，利用方程判别式判断是否有根）
2.解：两圆心距为3，，.
二、知识梳理
1．直线与圆的位置关系
设直线：，
圆：，
为圆心到直线的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.
方法位置关系 几何法 代数法
相交 < > 0
相切 ＝ ＝ 0
相离 > < 0
2.圆与圆的位置关系
设圆：，
圆：．
方法位置关系 几何法：圆心距与,的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 > 无解
外切 ＝ 一组实数解
相交 ||<< 两组不同的实数解
内切 ＝ () 一组实数解
内含 0≤< () 无解
三、问题研讨
问题1　直线与圆的位置关系
例1.已知⊙:.
（1）直线：，
①判断与⊙的位置关系；
②求被⊙截得弦长的最值；
③记与⊙的交点为，求面积的最大值.
解：由得
①恒过点
点在⊙内，
与⊙相交
另解：到的距离
，
与⊙相交
提炼：直线与圆的位置关系问题，既可以用几何判断，也可以用代数判断；直线方
程含有参数，要判断直线是否过定点.
②记被⊙截得弦长为，则
由①得，当，
当，
③
令，
，令，得或（舍）
在上单调递增，
（2）求过点与⊙相切的直线方程；
解：过点当斜率不存在时，直线方程为，符合题目要求；
当斜率存在时，设切线方程为，即
，
此时切线方程为
所求切线方程为和
提炼：求切线方程，一般用圆心到切线的距离等于半径的关系求解，假设切线方程时需要注意斜率不存在的情况
（3）在（2）中，设切点为，
①求所在的直线方程；
②求四边形的面积.
解：①所在的直线为以为直径的圆和⊙公共弦所在的直线
以为直径的圆的方程为
即
所在的直线为
②,
（4）在直线：上任取一点引⊙的切线，求切线长的最小值.
解：所求切线长
当最小时，取到最小，
到的距离为的最小值,
问题2　圆与圆的位置关系
例题2（1）已知圆：与圆：相外切，则ab的最大值为(　　)
A．　　B． C． D．
解：由圆与圆相外切，
可得 即，
根据基本(均值)不等式可知，
当且仅当时等号成立，故选C.
（2）两圆和恰有三条公切线，若， ，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
解：因为两圆的圆心和半径分别为，，，.
所以由题设可知两圆相外切，则，故，即，
所以，故选C.　
提炼：圆与圆的位置关系判定，既可以利用圆心距与两圆半径和差比较，也可以利用两圆的公切线条数来判定，两圆相切注意分内切或外切讨论．
提炼：1.当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用；
2.假设直线时，要注意讨论直线斜率是否存在.
问题4 数形结合
例题4 曲线：与直线：有两个交点时，实数的取值范围是 .
解：曲线，即，表示以为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线的距离等于半径2，可得，.
结合图象可得.
变式 曲线：与直线：有两个交点时，实数的取值范围是 .
解：直线：表示过定点的直线，由圆心到直线的距离等于半径2得解得,结合图象可得.
提炼：判断函数零点个数或方程根个数，要转化为图像交点个数，借助数形结合思想以形助数.
问题5 直线与圆的综合问题
例题5 已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点．
（1）求的取值范围；
（2）若，其中为坐标原点，求.
解：（1）由题设可知直线的方程为.则.
解得.所以的取值范围为.
（2）设,．
将代入方程，整理得
所以，.
，
解得k＝1，即直线的方程为，故圆心在直线上，所以.
提炼：直线与圆问题，除了利用几何法外，联立方程设而不求也是一种重要解决方法.
四、总结提升
1.直线与圆的位置关系问题，既可以用几何判断，也可以用代数判断，通常利用几何判断较为简洁，即圆心到直线的距离与圆的半径比较．
2.圆与圆的位置关系判定，既可以利用圆心距与两圆半径和差比较，也可以利用两圆的公切线条数来判定，两圆相切注意分内切或外切讨论．
若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
3.过圆上一点的圆的切线方程:切线有且仅有一条；先求切点与圆心连线的斜率，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程.
4.求过圆外一点的圆的切线方程：切线有两条；
当切线斜率存在时，设斜率为，切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径，可得出的值，进而求出切线方程；当切线斜率存在时，判断是否满足条件.
5.圆的弦长的求法
设直线被圆截得的弦为，圆的半径为r，圆心到直线的距离为，则有关系式：.　
当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
五、即时检测
1. 已知圆：与圆：，
若圆与圆相内切，则实数＝________．
提示：圆心分别为，，半径分别为3，2.当两圆内切时，，解得或.
2.过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是 .
解：根据题意，圆，圆心为，半径，
设正的高为h，由题意知为正的中心，
∴M到直线l的距离dh，
又，即，
∴由垂径定理可得：，可得，∴
由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，
则直线l的方程为，即，则有，
解可得：k＝或0（舍）

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