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第61课 轨迹方程
一、目标导引
方程表示的曲线是 （ ）
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
二、知识梳理
1.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系.
(2)设点——设轨迹上的任一点.
(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为,的方程式，并化简.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
2.两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
三、问题研讨
问题1　直接法求轨迹方程
例题1 已知，直线：，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且.求动点的轨迹的方程．
问题2　定义法求轨迹方程
例题2 已知圆：与点，， 分别求出满足下列条件的动点的轨迹方程．
(1)的周长为10；
(2)圆过点且与圆外切(为动圆圆心)．
变式：本例条件不变，若圆与圆外切且与直线相切(为动圆圆心)．试求动点的轨迹方程．
提炼:观察动点满足的几何条件是否满足圆、椭圆、双曲线、抛物线等的定义；写轨迹方程时注意是否有条件限制，从而限制曲线方程的范围.
问题3 相关点法(代入法) 求轨迹方程
例题3 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．求点P的轨迹方程；
提炼：当所求动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动.如果相关点所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程.
问题4　综合运用
例题4 在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足条件，则点到直线的最小距离是 .
提炼：到两定点的距离之比为定值（定值不为1）的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.
四、总结提升
1.求轨迹的常用方法
(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为、的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
(3)相关点法(代入法)：当所求动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动.如果相关点所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
2.失误与防范
(1)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.
(2)求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
五、即时检测
1.已知的顶点，，边上的中线长，则顶点的轨迹方程为 .
2.动点在圆上移动，，则线段中点的轨迹方程为 .
第61课 轨迹方程
一、目标导引
方程表示的曲线是 （ ）
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
解：或，表示一条射线和一条直线.选D.
二、知识梳理
1.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系.
(2)设点——设轨迹上的任一点.
(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为,的方程式，并化简.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
2.两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
三、问题研讨
问题1　直接法求轨迹方程
例题1 已知，直线：，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且.求动点的轨迹的方程．
解：设点，则，
由，得，化简得：.
提炼：直接法求轨迹步骤.设点、寻找几何关系、坐标化、化简.
问题2　定义法求轨迹方程
例题2 已知圆：与点，， 分别求出满足下列条件的动点的轨迹方程．
(1)的周长为10；
(2)圆过点且与圆外切(为动圆圆心)．
解：(1)根据题意，知，即，
故点的轨迹是以，为焦点，6为长轴长的椭圆，
且，，，因此其方程为．
(2)设圆的半径为，则，，因此.
由双曲线的定义知，点的轨迹为以，为焦点，1为实轴长的双曲线的右支，且，，，因此其方程为．
变式：本例条件不变，若圆与圆外切且与直线相切(为动圆圆心)．试求动点的轨迹方程．
解：依题意，知动点到定点的距离等于到定直线的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，.因此其方程为.
提炼:观察动点满足的几何条件是否满足圆、椭圆、双曲线、抛物线等的定义；写轨迹方程时注意是否有条件限制，从而限制曲线方程的范围.
问题3 相关点法(代入法) 求轨迹方程
例题3 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．求点P的轨迹方程；
解：设，，设，，．
由，得：
因为在上，所以
因此点的轨迹方程为.
提炼：当所求动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动.如果相关点所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程.
问题4　综合运用
例题4 在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足条件，则点到直线的最小距离是 .
解：设点，由得，化简得.即点在圆上.
圆心到直线的距离，则点到直线的最小距离为.
提炼：到两定点的距离之比为定值（定值不为1）的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.
四、总结提升
1.求轨迹的常用方法
(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为、的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
(3)相关点法(代入法)：当所求动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动.如果相关点所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
2.失误与防范
(1)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.
(2)求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
五、即时检测
1.已知的顶点，，边上的中线长，则顶点的轨迹方程为 .
答案:.
解:设，则，，即.
又点不在直线上，即，所以点的轨迹方程为.
2.动点在圆上移动，，则线段中点的轨迹方程为 .
答案:.
解:法一（代入法(相关点法)）设，则，
点在圆上，即.化简得.
法二（定义法）设中点为，则，
即点在以为圆心，1为半径的圆上，即.

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