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第62课 椭圆方程及性质
一、目标导引
已知椭圆:的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，求的方程.
二、知识梳理
1．椭圆的定义
平面内到两个定点，的距离之和等于常数(大于) 的点的集合叫做椭圆，这两个定点，叫做椭圆的焦点，两焦点，间的距离叫做椭圆的焦距．
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性质 范围 ； ；
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点 ，， ，，
轴 长轴的长为点，间的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程和几何性质；短轴的长为
焦距
离心率
的关系
三、问题研讨
问题1　椭圆的标准方程及应用
例题1 一个椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆的方程为 （ ）
A. B. C. D.
提炼：1.椭圆中涉及焦半径问题，要优先考虑定义；
2.研究圆锥曲线需按“化标、定型、定量”三步走，先化成标准方程，在确定型号，型号未定要分类讨论，最后在确定，，.
问题2　椭圆的定义及应用
例题2. 设，为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于，两点，若是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为 ．
提炼：焦三角形周长为定值.
问题3　椭圆的焦点三角形
例题3 若椭圆:的焦点为，，点在椭圆上，且，则 ．
提炼：焦点三角形具有很多性质，见总结提升.
问题4　椭圆的几何性质与离心率
例题4 设，分别是椭圆:的左、右焦点，点在椭圆C上，若线段的中点在轴上，，则椭圆的离心率为 ．
变式1.本例条件变为“若，，且，，则椭圆的离心率为________．
变式2.本例条件变为“到两焦点的距离之比为2∶1”，试求离心率范围．
提炼：1.离心率;
2.椭圆的焦半径范围为.
四、总结提升
（一）．求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数这一条件．
（二）．焦点三角形常用结论：(其中，，内切圆半径为)
1.，焦点三角形的周长为；
2.；
3.；
4.当为短轴端点时，、、最大．
（三）椭圆的几何性质:
1.(1)与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；
(2)与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．
【提醒】]在解题时要特别注意第二类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再进行求解．
2.椭圆几何性质的应用技巧
（1）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
（2）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，， ，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
（3）椭圆的焦半径范围为.
（四）椭圆的离心率
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：
1.求出，代入公式；
2.椭圆的离心率与，的关系：；
3.只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于或的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
五、即时检测
1．为椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于两点，若轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2. 设点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左，右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率为 .
第62课 椭圆方程及性质
一、目标导引
已知椭圆:的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，求的方程.
解:由椭圆的定义知,所以的周长等于，即，又，得，.
∴椭圆的方程为.
二、知识梳理
1．椭圆的定义
平面内到两个定点，的距离之和等于常数(大于) 的点的集合叫做椭圆，这两个定点，叫做椭圆的焦点，两焦点，间的距离叫做椭圆的焦距．
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性质 范围 ； ；
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点 ，， ，，
轴 长轴的长为点，间的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程和几何性质；短轴的长为
焦距
离心率
的关系
三、问题研讨
问题1　椭圆的标准方程及应用
例题1 一个椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆的方程为 （ ）
A. B. C. D.
解：设椭圆方程为，依题意得，得，又，在椭圆上，则有，即，解得，所以方程为，选A.
提炼：1.椭圆中涉及焦半径问题，要优先考虑定义；
2.研究圆锥曲线需按“化标、定型、定量”三步走，先化成标准方程，在确定型号，型号未定要分类讨论，最后在确定，，.
问题2　椭圆的定义及应用
例题2. 设，为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于，两点，若是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为 ．
解：由题意，知 ①，又由椭圆的定义知， ②，联立①②，解得，，所以，所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为．
提炼：焦三角形周长为定值.
问题3　椭圆的焦点三角形
例题3 若椭圆:的焦点为，，点在椭圆上，且，则 ．
解:由题意得，，则.在中，由余弦定理可得
.又，即.
提炼：焦点三角形具有很多性质，见总结提升.
问题4　椭圆的几何性质与离心率
例题4 设，分别是椭圆:的左、右焦点，点在椭圆C上，若线段的中点在轴上，，则椭圆的离心率为 ．
解：如图，设的中点为，连接.易得OM为的中位线．所以，所以
因为，所以，又
得，，.
即，则.
变式1.本例条件变为“若，，且，，则椭圆的离心率为________．
解 ，，
则，
由正弦定理得，即.
所以，即.
变式2.本例条件变为“到两焦点的距离之比为2∶1”，试求离心率范围．
解：设到两个焦点的距离分别为，，根据椭圆定义可知：，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到焦点距离的范围为，
即，解得.
提炼：1.离心率;
2.椭圆的焦半径范围为.
四、总结提升
（一）．求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数这一条件．
（二）．焦点三角形常用结论：(其中，，内切圆半径为)
1.，焦点三角形的周长为；
2.；
3.；
4.当为短轴端点时，、、最大．
（三）椭圆的几何性质:
1.(1)与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；
(2)与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．
【提醒】]在解题时要特别注意第二类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再进行求解．
2.椭圆几何性质的应用技巧
（1）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
（2）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，， ，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
（3）椭圆的焦半径范围为.
（四）椭圆的离心率
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：
1.求出，代入公式；
2.椭圆的离心率与，的关系：；
3.只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于或的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
五、即时检测
1．为椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于两点，若轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：由得，又因为，所以，代入椭圆得.因为，所以.因为.
2. 设点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左，右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率为 .
答案: .
解析：因为，所以，设的内切圆半径为，则有，即，所以.

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