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第63课 椭圆综合
1、 目标导引
1.判断直线:与椭圆的交点个数.
2.思考：如何判断直线和椭圆的位置关系？
二、知识梳理
1. 点与椭圆关系
（1）点在椭圆内；
（2）点在椭圆上；
（3）点在椭圆外.
2.直线与椭圆位置关系的判断: 直线与椭圆方程联立方程组，消掉，得到的形式(这里的系数一定不为0)，设其判别式为，
(1) 直线与椭圆相交；
(2) 直线与椭圆相切；
(3) 直线与椭圆相离．
3.弦长公式
(1)若直线与椭圆相交于两点，，则
.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为.
4.中点弦的重要结论
为椭圆的弦，，，弦中点．
(1)弦斜率：.
(2)弦的斜率与弦中点和椭圆中心的连线的斜率之积为定值.
三、问题研讨
问题1　直线与椭圆的位置关系
例题1 直线与椭圆恒有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．　　C． 　D．
提炼：直线与椭圆的位置关系问题，常用代数判断；直线方程含有参数，要判断直线是否过定点，从而转化为定点与椭圆的位置关系.
问题2　椭圆中与向量有关问题
例题2. （1）已知点，是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积为 .
（2）已知，,时椭圆上的动点，且，则的取值范围为 .
提炼：向量问题坐标化运算，同时要转化为几何关系；椭圆上点的坐标要记得范围限制.
问题3　与中点弦有关问题
例题3 已知椭圆及椭圆内一点，以为中点的弦所在直线的斜率为 .
提炼：点差法常用来解决有关弦中点和弦斜率问题.
问题4　与弦长面积有关问题
例题4 设椭圆：的右焦点为，过的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，椭圆的离心率为.如果，则椭圆的方程为______．
问题5 距离最值问题
例题5 已知点是椭圆上任意一点，则点到直线的距离最大值为 .
提炼：1.椭圆上的点到直线的最大最小距离，利用数形结合思想转化为平移直线找切点；
2.椭圆参数方程：，常用来假设椭圆上点的坐标.
四、总结提升
1．有关弦的问题
(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视椭圆定义的运用，以简化运算．
①斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，，则所得弦长或.
②当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
2.直线与椭圆的位置关系
在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.
3.避免繁复运算的基本方法
可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.
4．注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标时，则，这往往在求与点有关的最值问题中特别有用，也是容易忽略导致求最值错误的原因．
5．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求函数的单调区间，最值有重要意义．
五、即时检测
1. 已知点，是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上运动，则的取值范围为 .
2. 已知椭圆：的右焦点为，过的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围.
第63课 椭圆综合
2、 目标导引
1.判断直线:与椭圆的交点个数.
解：法一：联立方程得.
则有，则有两个交点.
法二：直线:过定点，且为椭圆的左顶点，所以必有两个交点.
2.思考：如何判断直线和椭圆的位置关系？
直线与椭圆位置关系的判断: 直线与椭圆方程联立方程组，消掉，得到的形式(这里的系数一定不为0)，设其判别式为，
(1) 直线与椭圆相交；
(2) 直线与椭圆相切；
(3) 直线与椭圆相离．
二、知识梳理
1. 点与椭圆关系
（1）点在椭圆内；
（2）点在椭圆上；
（3）点在椭圆外.
2.直线与椭圆位置关系的判断: 直线与椭圆方程联立方程组，消掉，得到的形式(这里的系数一定不为0)，设其判别式为，
(1) 直线与椭圆相交；
(2) 直线与椭圆相切；
(3) 直线与椭圆相离．
3.弦长公式
(1)若直线与椭圆相交于两点，，则
.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为.
4.中点弦的重要结论
为椭圆的弦，，，弦中点．
(1)弦斜率：.
(2)弦的斜率与弦中点和椭圆中心的连线的斜率之积为定值.
三、问题研讨
问题1　直线与椭圆的位置关系
例题1 直线与椭圆恒有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．　　C． 　D．
答案：B.
解：恒过点，由点在椭圆内或椭圆上得： 得且，选B.
提炼：直线与椭圆的位置关系问题，常用代数判断；直线方程含有参数，要判断直线是否过定点，从而转化为定点与椭圆的位置关系.
问题2　椭圆中与向量有关问题
例题2. （1）已知点，是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积为 .
解：（1）依题意得，解得，所以.
（2）已知，,时椭圆上的动点，且，则的取值范围为 .
解：(2) ,设，
，.
当时，取得最大值为9，当时，取得最小值为.
提炼：向量问题坐标化运算，同时要转化为几何关系；椭圆上点的坐标要记得范围限制.
问题3　与中点弦有关问题
例题3 已知椭圆及椭圆内一点，以为中点的弦所在直线的斜率为 .
解 设弦的端点，，则，，
两式相减，得
即，所以.
提炼：点差法常用来解决有关弦中点和弦斜率问题.
问题4　与弦长面积有关问题
例题4 设椭圆：的右焦点为，过的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，椭圆的离心率为.如果，则椭圆的方程为______．
解:由题意离心率，，由，得，椭圆的方程为①，设，，直线的方程为，即，与①联立得，，，由，解得，．
椭圆的方程为.
问题5 距离最值问题
例题5 已知点是椭圆上任意一点，则点到直线的距离最大值为 .
解：法一：设点在直线上，当与椭圆相切时，距离最大或最小，
联立方程得
令得.当时距离最大为.
法二：设点，则点到直线的距离.
提炼：1.椭圆上的点到直线的最大最小距离，利用数形结合思想转化为平移直线找切点；
2.椭圆参数方程：，常用来假设椭圆上点的坐标.
四、总结提升
1．有关弦的问题
(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视椭圆定义的运用，以简化运算．
①斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，，则所得弦长或.
②当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
2.直线与椭圆的位置关系
在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.
3.避免繁复运算的基本方法
可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.
4．注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标时，则，这往往在求与点有关的最值问题中特别有用，也是容易忽略导致求最值错误的原因．
5．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求函数的单调区间，最值有重要意义．
五、即时检测
1. 已知点，是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上运动，则的取值范围为 .
答案：.
解析：，又，则有.
2. 已知椭圆：的右焦点为，过的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围.
答案：.
解：依题意知
①当的斜率不存在时，，代入得，即；
②当的斜率存在时，，，，联立方程得
化简得
，，
.
综上所述.

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