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第64课 双曲线
一、目标导引
题目：
1.“”是“方程表示双曲线”的 (　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．
3.设，分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为__________.
问题：方程何时表示椭圆？何时表示双曲线？双曲线的性质有哪些，分别 是什么？
二、知识梳理
你说能出双曲线的概念吗？双曲线的标准方程是什么？双曲线的几何性质有哪些？
1.双曲线的概念
平面内动点与两个定点， ()的距离之差的绝对值为常数，则点的轨迹叫 ．这两个定点叫双曲线的 ，两焦点间的距离叫 ．
集合，，其中、为常数且，：
(1)当时，点的轨迹是双曲线；
(2)当时，点的轨迹是 ；
(3)当时，点不存在．
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性质 范围 或， ，或
对称性 对称轴： ，对称中心：
顶点 ， ，
渐近线
离心率 ，
实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的半实轴长，叫做双曲线的半虚轴长
通径 过焦点垂直于轴的弦叫通径，其长为
、、的关系
3.求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法
根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的，，
即可求得方程．
(2)待定系数法
①与双曲线共渐近线的可设为；
②若渐近线方程为，则可设为；
③若过两个已知点，则可设为.
三、问题研讨
问题1：双曲线的定义
例题1：(1)设、是双曲线的两焦点，是双曲线上一点，且，则的面积等于 (　　)
A. B. C. D.
(2)已知双曲线的离心率为，焦点为、，点在上．若，则 (　　)
A. B. C. D.
提炼：当条件涉及双曲线上一点及两个焦点间的关系时，应联想到圆锥曲线的定义，如，再结合焦点三角形的性质解答问题，通常还伴随着解三角形的过程.
问题2：求双曲线的标准方程
例题2：(1)与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为(　　)
A. B. C. D.
(2) 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
提炼：求圆锥曲线的标准方程通常有两种办法：①定义法，②待定系数法.
问题3：双曲线的几何性质
例题3：（1）（求渐近线方程）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 (　　)
A. B. C. D.
（2）（求离心率）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (　　)
A. B. C. D.
（3）（与焦点三角形有关的问题）设，是双曲线的两个焦点，是上一点．若，且的最小内角为，则的离心率为________．
提炼：双曲线具有众多几何性质，而对离心率及渐近线的考查应该是其中的两个热点，两者并无本质区别.对于离心率问题，通常构造关于，，的齐次式，从而转化为关于的方程或不等式.
问题4.与双曲线有关的综合问题
例题4：已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线交双曲线于、两点，为左焦点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若的面积等于，求直线的方程．
提炼：在直线与双曲线的位置关系研究中，联立直线与双曲线的方程，消元转化为变量的二次方法，利用韦达定理实现设而不求，是一个重要的研究方法.
四、总结提升
(1)应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．
另外，还经常结合，运用平方的方法，建立它与，的联系．
五、即时检测
试题：（1）（2019龙岩一检理）已知双曲线和双曲线焦距相等，离心率分别为、，若，则下列结论正确的是
A．和 离心率相等 B．和 渐近线相同
C．和 实轴长相等 D．和 虚轴长相等
（2）已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
第64课 双曲线
一、目标导引
题目：
1.“”是“方程表示双曲线”的 (　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．
3.设，分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为__________.
问题：方程何时表示椭圆？何时表示双曲线？双曲线的性质有哪些，分别 是什么？
解：1.选B.当时，，，方程表示双曲线．
当时，，，方程也表示双曲线．
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．
2.设双曲线的方程为，将点代入上式，得，
所以的方程为，其渐近线方程为.
答案：，.
3.易知，所以由双曲线的定义知，
因为到直线的距离等于双曲线的实轴长，所以，
即，两边同除以，得，
解得或 (舍)．
二、知识梳理
你说能出双曲线的概念吗？双曲线的标准方程是什么？双曲线的几何性质有哪些？
1.双曲线的概念
平面内动点与两个定点， ()的距离之差的绝对值为常数，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
集合，，其中、为常数且，：
(1)当时，点的轨迹是双曲线；
(2)当时，点的轨迹是两条射线；
(3)当时，点不存在．
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性质 范围 或， ，或
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 ， ，
渐近线
离心率 ，
实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的半实轴长，叫做双曲线的半虚轴长
通径 过焦点垂直于轴的弦叫通径，其长为
、、的关系
3.求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法
根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的，，
即可求得方程．
(2)待定系数法
①与双曲线共渐近线的可设为；
②若渐近线方程为，则可设为；
③若过两个已知点，则可设为.
三、问题研讨
问题1：双曲线的定义
例题1：(1)设、是双曲线的两焦点，是双曲线上一点，且，则的面积等于 (　　)
A. B. C. D.
(2)已知双曲线的离心率为，焦点为、，点在上．若，则 (　　)
A. B. C. D.
答案：(1)C (2) B
解：(1)由，解得，.又，
所以为直角三角形．所以. 选C .
(2) 由，得，如图，由双曲线的定义得，
又，故，，
所以. 选B.
提炼：当条件涉及双曲线上一点及两个焦点间的关系时，应联想到圆锥曲线的定义，如，再结合焦点三角形的性质解答问题，通常还伴随着解三角形的过程.
问题2：求双曲线的标准方程
例题2：(1)与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为(　　)
A. B. C. D.
(2) 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
答案：(1)C (2) C
解：(1)椭圆的焦点坐标为，，
设双曲线的标准方程为，则，解得.
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：由，及，解得，，选C.
提炼：求圆锥曲线的标准方程通常有两种办法：①定义法，②待定系数法.
问题3：双曲线的几何性质
例题3：（1）（求渐近线方程）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 (　　)
A. B. C. D.
（2）（求离心率）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (　　)
A. B. C. D.
（3）（与焦点三角形有关的问题）设，是双曲线的两个焦点，是上一点．若，且的最小内角为，则的离心率为________．
答案：（1）A （2）D （3）A （4）
解：（1）由题意知，，所以.
又因为，，所以，
所以，即，解得，所以.
令，解得，所以.选A.
设双曲线方程为，
（2）不妨设一个焦点为，虚轴端点为，则.
又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得 (显然不符合)，
即，又，所以，两边同除以，整理得，
解得或 (舍去)．
（3）不妨设点在双曲线的右支上，由双曲线定义知①，
又因为②，由①②得，，因为，
所以在中，为最小内角，因此，在中，
由余弦定理可知，，
即.
所以，两边同除以得，.解得.
提炼：双曲线具有众多几何性质，而对离心率及渐近线的考查应该是其中的两个热点，两者并无本质区别.对于离心率问题，通常构造关于，，的齐次式，从而转化为关于的方程或不等式.
问题4.与双曲线有关的综合问题
例题4：已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线交双曲线于、两点，为左焦点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若的面积等于，求直线的方程．
解：（1）依题意知，，，，所以双曲线的方程为.
（2）设，，由(1)知．
易验证当直线斜率不存在时不满足题意，故可设直线，
由，消元得，
因为直线与双曲线有两个交点，所以，
且，，，
则的面积
.
得，则.
所以直线的方程为或.
提炼：在直线与双曲线的位置关系研究中，联立直线与双曲线的方程，消元转化为变量的二次方法，利用韦达定理实现设而不求，是一个重要的研究方法.
四、总结提升
(1)应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．
另外，还经常结合，运用平方的方法，建立它与，的联系．
五、即时检测
试题：（1）（2019龙岩一检理）已知双曲线和双曲线焦距相等，离心率分别为、，若，则下列结论正确的是
A．和 离心率相等 B．和 渐近线相同
C．和 实轴长相等 D．和 虚轴长相等
（2）已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
答案：（1）B （2）
解：（1）设焦距为，则有，且，，即，所以，故选B
（2）根据对称性，只要即可．由题意，知，
直线的方程为，将代入双曲线方程，得，取点，
则，，只要就能使，
即，解得，
又，故.故离心率e的取值范围是．

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