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第65课 抛物线
一、目标导引
题目：
1.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面米，水面宽米，当水位下降米后，水面宽________米．
2.抛物线的焦点为，过点且倾斜角等于的直线与抛物线在轴上方的曲线交于点，则的长为 （ ）
A. B. C. D.
问题：抛物线的标准方程是什么？你能写出抛物线的焦半径公式吗？
二、知识梳理
抛物线的概念是什么？标准方程有哪些形式？抛物线的几何性质有哪些？
预设：
1.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点的距离与到定直线的距离 ；
(3)定点 定直线上．
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
的几何意义：焦点到准线的距离
图形
顶点
对称轴
焦点
离心率
准线方程
范围
开口方向 向右 向左 向上 向下
通径 过焦点垂直于轴的弦叫通径，其长为
焦半径(其中
焦点弦长 过焦点较抛物线的弦叫焦点弦长，两交点为，
3.与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)
设，．
(1) ，.
(2) ， , ，
, .(为的倾斜角)．
(3) 以为直径的圆与准线相切，以或为直径的圆与轴相切．
(4) 三点共线，三点共线.
三、问题研讨
问题1 抛物线的定义及其应用
例题1 (1)已知抛物线的焦点为，是上一点，，则 .
(2) 过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则 （ ）
A. B. C. D.
提炼：此类问题以抛物线的定义（即抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离）为重要支点，辅以解三角形，平面几何相关知道进行命题，解题过程同样需要注意结合其它方面的知识进行综合考量.
问题2 抛物线的标准方程及性质
例题2 （1）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 (　　)
A. B. C. D.
(2)已知双曲线的两条渐近线与抛物线分别交于，，三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，的面积为，则
(　　)
A. B. C. D.
提炼：求抛物线的方程通常有两大方向：①定义法，②待定系数法.同时抛物线的焦半径公式、“点差法”公式等，往往给问题的研究带来便利.
问题3 直线与抛物线的位置关系
例题3 （2018 课标Ⅲ 理16）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________.
问题4 直线与抛物线综合
例题4 (2019莆田二检B卷文20)已知,是曲线上任意一点,动点满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若点是上异于的两个动点,为坐标原点,且,求证：直线恒过定点.
提炼：开口向上或向下的抛物线的切线问题，可利用导数工具解决切线的斜率问题，解题时勿忘这一解决问题的方向.
四、总结提升
（1）应用抛物线的定义解决问题时需注意的问题：
应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.
（2）要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.
（3）要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.
五、即时检测
试题：（1）(2019福州一检理6)设抛物线的焦点为，准线为，为该抛物线上一点，，为垂足．若直线的斜率为，则的面积为
A. B. C.8 D.
（2）已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是 (　　)
A. B. C. D.
第65课 抛物线
一、目标导引
题目：
1.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面米，水面宽米，当水位下降米后，水面宽________米．
2.抛物线的焦点为，过点且倾斜角等于的直线与抛物线在轴上方的曲线交于点，则的长为 （ ）
A. B. C. D.
问题：抛物线的标准方程是什么？你能写出抛物线的焦半径公式吗？
解：1.建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为，则，将其坐标代入，得.所以.当水面下降 m，得，将其坐标代入，得，所以.所以水面宽m.答案：
2.过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，由抛物线定义得，易知平行于轴，，，是等边三角形.过作垂直于于点，则，故.
二、知识梳理
抛物线的概念是什么？标准方程有哪些形式？抛物线的几何性质有哪些？
预设：
1.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点的距离与到定直线的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
的几何意义：焦点到准线的距离
图形
顶点
对称轴
焦点
离心率
准线方程
范围
开口方向 向右 向左 向上 向下
通径 过焦点垂直于轴的弦叫通径，其长为
焦半径(其中
焦点弦长 过焦点较抛物线的弦叫焦点弦长，两交点为，
3.与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)
设，．
(1) ，.
(2) ， , ，
, .(为的倾斜角)．
(3) 以为直径的圆与准线相切，以或为直径的圆与轴相切．
(4) 三点共线，三点共线.
三、问题研讨
问题1 抛物线的定义及其应用
例题1 (1)已知抛物线的焦点为，是上一点，，则 .
(2) 过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则 （ ）
A. B. C. D.
答案：(1) （2）C
解：（1），过作准线，所以，所以，所以.
（2）解法一：分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，
过作于，交轴于，
由已知条件及抛物线的定义得，，，
所以，在中，因为，，所以，
所以，所以焦点到准线的距离为，即.
解法二：由抛物线焦点弦性质：，解得.
提炼：此类问题以抛物线的定义（即抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离）为重要支点，辅以解三角形，平面几何相关知道进行命题，解题过程同样需要注意结合其它方面的知识进行综合考量.
问题2 抛物线的标准方程及性质
例题2 （1）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 (　　)
A. B. C. D.
(2)已知双曲线的两条渐近线与抛物线分别交于，，三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，的面积为，则
(　　)
A. B. C. D.
答案：（1）B （2）B
解：(1)依题意，设，，所以，，，，又的面积为，所以，解得，所以抛物线方程为.
(2)双曲线的渐近线方程为，因为双曲线的离心率为，所以，.
由解得，或，
由曲线的对称性及的面积得，，
解得， (舍去)．故选B.
提炼：求抛物线的方程通常有两大方向：①定义法，②待定系数法.同时抛物线的焦半径公式、“点差法”公式等，往往给问题的研究带来便利.
问题3 直线与抛物线的位置关系
例题3 （2018 课标Ⅲ 理16）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________.
答案：
提示：点在的准线上，以焦点弦为直径的圆与准线相切，由知即为切点，与中点的连线平行于轴.
设中点为，则，由“点差法“知.
另解：“代数法“，由转化为，再进行代数运算.
问题4 直线与抛物线综合
例题4 (2019莆田二检B卷文20)已知,是曲线上任意一点,动点满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若点是上异于的两个动点,为坐标原点,且,求证：直线恒过定点.
解：（1）设,由得：
,
则
即
因为点为曲线上任意一点,故,代入得.
所以点的轨迹的方程是.
（2）依题得直线的斜率存在,其方程可设为,设
由得,
所以，
则
故,满足.
所以直线恒过定点.
提炼：开口向上或向下的抛物线的切线问题，可利用导数工具解决切线的斜率问题，解题时勿忘这一解决问题的方向.
四、总结提升
（1）应用抛物线的定义解决问题时需注意的问题：
应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.
（2）要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.
（3）要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.
五、即时检测
试题：（1）(2019福州一检理6)设抛物线的焦点为，准线为，为该抛物线上一点，，为垂足．若直线的斜率为，则的面积为
A. B. C.8 D.
（2）已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是 (　　)
A. B. C. D.
答案：（1）B （2）D
解：（1）设准线与轴交于点,因为直线的斜率为， ， ， ，又因为，所以是边长为4的等边三角形，
所以的面积为．故选B．
（2）由题意知，抛物线的焦点为．设点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，点到轴的距离为，
所以点到直线的距离与到轴的距离之和为.
易知的最小值为点到直线的距离，
故的最小值为，所以的最小值为.

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