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第53课 线面、面面垂直的性质
一、目标导引
1．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，平行四边形中，，，将沿折起到的位置，使平面平面，求证：． w．w．w．k．s．5．u．c．o．m
二、知识梳理
1．线面、面面垂直的性质
文字语言 图形语言 符号语言
线面垂直性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
面面垂直性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三、问题研讨
问题1．直线与平面垂直的性质
例1. 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
证明：AE⊥PD；
提炼1：解决直线与平面的垂直性质一般有三个方向转化：
(1)运用线面垂直的定义：
(2)运用线面垂直的性质定理： ；
(3)运用面面垂直的判定定理：
问题2 面面垂直的性质
例2. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面
底面，，.
证明：：；
提炼2：要运用平面与平面的垂直性质一般有两个注意的地方：
(1)两平面交线的垂线；如：，；
(2)面面垂直不能直接推导出线线垂直；如
问题3 线面、面面垂直的性质及其综合应用
例题3．如图，在正三棱柱中，为底边的中点，为侧棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，求证：平面．
提炼3：解决线面、面面垂直的性质综合应用问题须注意：
(1)性质与判定定理相辅相成：如：
(2)证明垂直问题时也同时兼顾综合法和分析法；
四、总结提升
线面垂直的性质应用技巧
(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质要应用,要对此进行证明．
(3)垂直与体积结合问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．
五、即时检测
1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是 （ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a α，b⊥β，α∥β D．a α，b∥β，α⊥β
2．如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
则C1在底面ABC上的射影H必在 ( )
A．直线AB上 B．直线AC上 C．直线BC上 D．线段BC中点上
第53课 线面、面面垂直的性质
一、目标导引
1．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B　①④正确．
2．如图，平行四边形中，，，将沿折起到的位置，使平面平面，求证：． w．w．w．k．s．5．u．c．o．m
证明：在，，，可得，且
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
又平面，∴．
二、知识梳理
1．线面、面面垂直的性质
文字语言 图形语言 符号语言
线面垂直性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
面面垂直性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三、问题研讨
问题1．直线与平面垂直的性质
例1. 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
证明：AE⊥PD；
解析：因为四棱锥，底面 为菱形，
， 分别是 的中点，所以 是等边三角形，所以，
又因为在菱形 中，，所以，
因为 面， 面，所以，
因为 ，所以 面， 因为 面，所以
提炼1：解决直线与平面的垂直性质一般有三个方向转化：
(1)运用线面垂直的定义：
(2)运用线面垂直的性质定理： ；
(3)运用面面垂直的判定定理：
问题2 面面垂直的性质
例2. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面
底面，，.
证明：：；
证明：取AD的中点O，连OC,OP
∵为等边三角形，且O是边AD 的中点
∴
∵平面底面，且它们的交线为AD
∴ ∴
∵ ∴ ∴
提炼2：要运用平面与平面的垂直性质一般有两个注意的地方：
(1)两平面交线的垂线；如：，；
(2)面面垂直不能直接推导出线线垂直；如
问题3 线面、面面垂直的性质及其综合应用
例题3．如图，在正三棱柱中，为底边的中点，为侧棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，求证：平面．
证明：（1）设和的交点为，连接，连接，
因为为的中点，为的中点，所以，且
又是中点，则 且，
所以且．所以四边形为平行四边形，
所以．
因为三棱柱是正三棱柱，所以平面．
因为平面，所以．
由已知得，所以．
所以平面
所以平面
又因为平面，所以平面平面．
（2）在正三棱柱中，，所以四边形是正方形，
所以
又因平面平面，平面平面，
平面，
所以平面．
提炼3：解决线面、面面垂直的性质综合应用问题须注意：
(1)性质与判定定理相辅相成：如：
(2)证明垂直问题时也同时兼顾综合法和分析法；
四、总结提升
线面垂直的性质应用技巧
(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质要应用,要对此进行证明．
(3)垂直与体积结合问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．
五、即时检测
1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是 （ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a α，b⊥β，α∥β D．a α，b∥β，α⊥β
答案：C
2．如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
则C1在底面ABC上的射影H必在 ( )
A．直线AB上 B．直线AC上 C．直线BC上 D．线段BC中点上
答案：因为，所以面，所以面面又交线为 ，所以选A

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