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第54课 直线与平面的平行与垂直（综合）
一、目标导引
1．已知直三棱柱中，，为中点，为中点，
侧面为正方形。
（1） 证明：平面；
（2） 证明：；
二、知识梳理
1．直线与平面平行垂直的判定对比
文字语言 图形语言 符号语言
线面平行判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) ∥
线面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
2．平面与平面平行垂直的判定对比
文字语言 图形语言 符号语言
面面平行判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)
面面垂直判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
3．直线与平面平行垂直的性质对比
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) ∥
线面垂直性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
4．平面与平面平行垂直的性质对比
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∥
面面垂直性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三、问题研讨
问题1　线面位置关系相关的综合问题(体积、表面积等)
例1．【2018年全国III卷文科18】如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．
例2．如图，在四棱锥中，在底面中，，，是的中点，是棱的中点，，，，．
（1）求证：平面底面；
（2）试求三棱锥的体积．
提炼1：空间几何体体积问题处理三种途径和相关题型：
途径：(1)运用体积公式，如：锥体（为底面积，为高）
(2)运用等体积法求体积；（如例2）
(3)借用平行关系转化问题，如：若//平面，则；
相关题型：常用等体积法求点到面的距离（如例1）
问题2 直线与平面平行垂直的探究性问题
例3. 【2018年全国III卷文科18】如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得∥平面？说明理由．
提炼2：空间几何中存在探究性问题一般采用先猜后证、先设后证
(1)文科一般多先猜后证，如先假设中点、三等分点，然后证明；
(2)理科一般多先设后证，如先设点坐标，再用空间向量求解；
问题3 平面图形折叠问题
例4．(2019全国III文19）图1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的四边形ACGD的面积.
提炼3：折叠问题本质是平面与空间转化问题，须注意关键点：在不变的平面图形（三角形与四边形）中运用数量与位置关系中不变的量．
四、总结提升
1．平行关系综合题的方法规律
线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：
转化与化归思想在证明平行关系中的应用
证明平行的一般思路是：欲证面面平行，可转化为证明线面平行；欲证线面平行，可转化为证明线线平行．
2．垂直关系综合题的方法规律
(1)垂直与体积结合问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．
(2)三种垂直的综合问题．一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化，其转化关系如下：
五、即时检测
1. 如图，四边形中，， ，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是( )
（A）
（B）
（C）与平面所成的角为
（D）四面体的体积为
2.如图，边长为的正方形是圆柱的中截面，点为线段的中点，点为圆柱的下底面圆周上异于，的一个动点．[来在圆柱的下底面上确定一定点，使得平面；
　　
第54课 直线与平面的平行与垂直（综合）
一、目标导引
1．已知直三棱柱中，，为中点，为中点，
侧面为正方形。
（3） 证明：平面；
（4） 证明：；
解析：（1）连交于O，因为D为BC中点，所以
又面，面
平面
（2）因为为正方形，为中点，为中点，
所以△△， 所以
又因为，所以
所以
因为，为中点，所以
又因为面面，面面，面
所以面，所以
又因为，所以面，所以
二、知识梳理
1．直线与平面平行垂直的判定对比
文字语言 图形语言 符号语言
线面平行判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) ∥
线面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
2．平面与平面平行垂直的判定对比
文字语言 图形语言 符号语言
面面平行判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)
面面垂直判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
3．直线与平面平行垂直的性质对比
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) ∥
线面垂直性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
4．平面与平面平行垂直的性质对比
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∥
面面垂直性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三、问题研讨
问题1　线面位置关系相关的综合问题(体积、表面积等)
例1．【2018年全国III卷文科18】如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．
解析：（1）因为，为的中点，所以，且．
连结．因为，所以为等腰直角三角形，且，．
由知，．
由，知平面．
（2）作，垂足为．又由（1）可得，所以平面．
故的长为点到平面的距离．
由题设可知，，．
所以，
所以点C到平面POM的距离为．
例2．如图，在四棱锥中，在底面中，，，是的中点，是棱的中点，，，，．
（1）求证：平面底面；
（2）试求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：∵，，是的中点，∴四边形为平行四边形，∴．∵，∴．又，，是的中点，故，
又，，∴，由勾股定理可知，
又，∴平面，∴平面底面．
（2）∵，是的中点，∴．∵平面平面，且平面平面，∴平面．又是棱上的中点，故．
提炼1：空间几何体体积问题处理三种途径和相关题型：
途径：(1)运用体积公式，如：锥体（为底面积，为高）
(2)运用等体积法求体积；（如例2）
(3)借用平行关系转化问题，如：若//平面，则；
相关题型：常用等体积法求点到面的距离（如例1）
问题2 直线与平面平行垂直的探究性问题
例3. 【2018年全国III卷文科18】如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得∥平面？说明理由．
证明：（1）由题设知，平面平面，交线为．
因为，平面，所以平面，故．
因为是上异于，的点，且为直径，所以．
又，所以平面．
而平面，故平面平面．
（2）当为的中点时，∥平面．
证明如下：连结交于．因为为矩形，所以为中点．
连结，因为为的中点，所以∥．
平面，平面，所以平面．
提炼2：空间几何中存在探究性问题一般采用先猜后证、先设后证
(1)文科一般多先猜后证，如先假设中点、三等分点，然后证明；
(2)理科一般多先设后证，如先设点坐标，再用空间向量求解；
问题3 平面图形折叠问题
例4．(2019全国III文19）图1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的四边形ACGD的面积.
解析（1）由已知得AD//BE，CG//BE，所以AD//CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．
又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．
（2）取的中点，联结，.
因为，平面，所以平面，故.
由已知，四边形是菱形，且得，故平面.
因此.
在中，，，故.
所以四边形的面积为4.
提炼3：折叠问题本质是平面与空间转化问题，须注意关键点：在不变的平面图形（三角形与四边形）中运用数量与位置关系中不变的量．
四、总结提升
1．平行关系综合题的方法规律
线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：
转化与化归思想在证明平行关系中的应用
证明平行的一般思路是：欲证面面平行，可转化为证明线面平行；欲证线面平行，可转化为证明线线平行．
2．垂直关系综合题的方法规律
(1)垂直与体积结合问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．
(2)三种垂直的综合问题．一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化，其转化关系如下：
五、即时检测
1. 如图，四边形中，， ，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是( )
（A）
（B）
（C）与平面所成的角为
（D）四面体的体积为
答案：B
因为平面平面，，所以面，所以，又，所以面，所以选B
2.如图，边长为的正方形是圆柱的中截面，点为线段的中点，点为圆柱的下底面圆周上异于，的一个动点．[来在圆柱的下底面上确定一定点，使得平面；
　　解析：点为线段的中点，又点为线段的中点，故//，又平面，平面，所以//平面．
A1
C1
A
C
D
B
B1
E
A
B
C
D
B
C
D
A1
C1
A
C
D
B
B1
E
A
B
C
D
B
C
D

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