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第57课 倾斜角与斜率 直线的方程
一、目标导引
1. 确定一条直线需要知道哪些几何量？由这些几何量如何确定直线方程？
2. 如图，在平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的顶点A在原点的位置，
则正六边形各边中，斜率最大的边是什么边？倾斜角最大的边呢？
1. 答：已知直线上的两个点，或者知道直线上的一个点和直线的倾斜角（斜率），若斜率存在，可采用点斜式建立方程.
2. 解：依照倾斜角和斜率的概念及意义，斜率最大的是ED边和AB边，倾斜角最大的是AF边和CD边.
二、知识梳理
1．直线的倾斜角
（1）定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．
（2）倾斜角的范围为．
2．直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即，倾斜角是的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式
经过两点,的直线的斜率公式为
3．直线的方程
名称 几何条件 方程 局限性
点斜式 过点，斜率为 不含垂直于轴的直线
斜截式 斜率为，纵截距为 不含垂直于轴的直线
两点式 过两点， 不包括垂直于坐标轴的直线
截距式 在轴、轴上的截距分别为， 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 (，不全为0)
三、问题研讨
问题1.倾斜角、斜率、直线方程
问题1 直线的倾斜角与斜率
例1 （1）直线的倾斜角的变化范围是(　　)
A．　　 B． C． D．
（2）设点，，若直线与线段AB没有交点，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
解：（1）直线的斜率.由于，
所以，因此.设直线的倾斜角为，
则有．
由于，所以，即倾斜角的变化范围是.
（2） 解析　直线恒过点，且斜率为，
∵，
画图可知且，∴.
提炼：求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率的取值范围．②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
例2.直线过点，且分别满足下列条件的l的方程
（1）其倾斜角的正弦值是；
解：设的倾斜角为，则
的方程为，即或
（2）其倾斜角是直线的倾斜角的一半；
解：已知直线的倾斜角为
的倾斜角为
的斜率为
的方程为，即
变式1：其倾斜角是直线的倾斜角的一半；
变式2：其倾斜角是直线x – 3y + 4 = 0的倾斜角的两倍；
解：设已知直线倾斜角为，则
的斜率
的方程为，即
（3）若夹在两坐标轴间的线段被点P平分；
解：依题与轴交点分别为
的方程为，即
另解：依题的斜率存在，设其方程为
与轴交点分别为
为中点，得
的方程为
（4）若l在x轴、y轴上的截距相等；
解：依题设的方程为或
又过，或
或
的方程为或，即或
变式1：在x轴上的截距是y轴上截距的2倍；
变式2：若l在x轴、y轴上的截距互为相反数；
四、总结提升
（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率的取值范围．
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围．
求倾斜角时要注意斜率是否存在．　
（2）斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据求斜率．
②公式法：若已知直线上两点,，一般根据斜率公式
求斜率．
（3）直线方程求法中2个注意点
①在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
②对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
（4）处理直线方程综合应用的2大策略
①含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
②求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
五、即时检测
1. 过点作一直线，使它夹在两直线和间的线段AB恰好被P所平分，则直线的方程为。
答案：
2．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
答案：或
A
B
C
D
E
F
x
y

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