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第十一篇 选修专题（2）
一级结构 二级结构 主要内容 复习目标 教学策略
坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 极坐标与平面直角坐标的互化 参数方程与普通方程的互化 曲线的极坐标方程，直线的参数方程 1.了解在平面直角坐标系下的伸缩变换． 2.理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3.能在极坐标系中给出简单图形的方程． 4.了解参数方程，了解参数的意义． 5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 知识梳理
应用 利用极坐标及参数方程解决简单问题 1.进一步掌握极坐标、参数方程的基本知识． 2.通过极坐标与参数方程的综合应用，提高综合运用知识的能力． 方法归纳
第77课 坐标系与参数方程
一、目标导引
1. 椭圆经过怎样的伸缩变换后可以得到的圆？该圆的极坐标方程和参数方程分别是什么？
2. 回顾什么是直角坐标系下的伸缩变换？极坐标与直角坐标是如何互化的？
二、知识梳理
1．坐标系
(1)坐标变换
设点P是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用
下，点P对应到点，称为坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
一般地，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系
一般地，极坐标与 表示同一个点，特别地，极点O的坐标为 ，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有 种表示．
如果规定 ， ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 表示；同时，极坐标 表示的点也是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内一点，它的直角坐标是，极坐标是，则它们之间的关系为：
3. 常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点， 半径为的圆
圆心为 , 半径为的圆
圆心为， 半径为r的圆
过极点，倾斜角为 的直线
过点，与极轴 垂直的直线
过点，与极轴平行的直线
4．参数方程
平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个参数t的函数 ①，并且对于t的每一个允许值，由方程①所确定的点 都在这条曲线上，那么方程①就叫作这条曲线的参数方程，联系 的变数叫作 .
5．常见曲线的参数方程
（1）直线的参数方程
经过点 ，倾斜角为α的直线的参数方程为 (为参数)，
设 是直线上的任一点，则表示有向线段 的数量．
（2）圆的参数方程 (为参数)；
（3）椭圆 ()的参数方程为 (为参数)；
（4）双曲线 ()的参数方程为 (为参数)；
（5）抛物线 ()的参数方程为(为参数).
三、问题研讨
问题1（伸缩变换）
例题1：在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线变换为椭圆，此伸缩变换公式是
【提炼】：此类问题涉及待定系数法+方程组思想，考查的方向与形式有三个：求变换前后曲线方程与变换公式，可在原题上作适度变式训练.
问题2（极坐标方程与直角坐标方程互化）
例题2：极坐标系中，直线与圆的交点的极坐标为(　　)
A． B． C． D．
【提炼】：本道试题设计意图是希望学生先通过互化公式，借由较为熟悉的普通方程破解问题，再进一步利用极坐标方程求解，体验极坐标方程探究问题的一般思路过程与价值.
问题3（参数方程与普通方程互化）
例题3：把下列参数方程化为普通方程．
(1) (t为参数)；(2) (θ为参数，)；(3) (t为参数)
【提炼】：如何消参是参数方程与普通方程之间互化的难点，通过观察寻找发现两个方程间的联系，从而灵活运用相关公式消参是核心关键.
四、总结提升
1.直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式直接代入并化简即可.
2.极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法，但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
3.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.
五、即时检测
1.（极坐标方程与直角坐标方程互化）在极坐标系中，则曲线
与的交点的极坐标为 .
2.（参数方程与普通方程互化）若曲线C的参数方程为 (θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是(　　)
A．直线
B．以为端点的射线
C．圆
D．以,为端点的线段
第十一篇 选修专题（2）
一级结构 二级结构 主要内容 复习目标 教学策略
坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 极坐标与平面直角坐标的互化 参数方程与普通方程的互化 曲线的极坐标方程，直线的参数方程 1.了解在平面直角坐标系下的伸缩变换． 2.理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3.能在极坐标系中给出简单图形的方程． 4.了解参数方程，了解参数的意义． 5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 知识梳理
应用 利用极坐标及参数方程解决简单问题 1.进一步掌握极坐标、参数方程的基本知识． 2.通过极坐标与参数方程的综合应用，提高综合运用知识的能力． 方法归纳
第77课 坐标系与参数方程
一、目标导引
1. 椭圆经过怎样的伸缩变换后可以得到的圆？该圆的极坐标方程和参数方程分别是什么？
解：；圆的极坐标方程：；参数方程： (α为参数)
2. 回顾什么是直角坐标系下的伸缩变换？极坐标与直角坐标是如何互化的？
平面直角坐标系中的任意一点P(x，y)，在变换φ：的作用
下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．
极坐标与直角坐标关系式：或
二、知识梳理
1．坐标系
(1)坐标变换
设点P是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用
下，点P对应到点，称为坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
一般地，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系
一般地，极坐标与表示同一个点，特别地，极点O的坐标为，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有 无数 种表示．
如果规定，，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，则它们之间的关系为： .
3. 常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点， 半径为的圆 ，
圆心为 , 半径为的圆 ，
圆心为， 半径为r的圆 ，
过极点，倾斜角为 的直线 或
过点，与极轴 垂直的直线 ，
过点，与极轴平行的直线 ，
4．参数方程
平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个参数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫作这条曲线的参数方程，联系的变数叫作 参数 .
5．常见曲线的参数方程
（1）直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为 (为参数)，
设 是直线上的任一点，则表示有向线段的数量．
（2）圆的参数方程 (为参数)；
（3）椭圆 ()的参数方程为 (为参数)；
（4）双曲线 ()的参数方程为 (为参数)；
（5）抛物线 ()的参数方程为(为参数).
三、问题研讨
问题1（伸缩变换）
例题1：在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线变换为椭圆，此伸缩变换公式是
解：设此伸缩变换为
代入得即
与比较得故,即所求变换为
【提炼】：此类问题涉及待定系数法+方程组思想，考查的方向与形式有三个：求变换前后曲线方程与变换公式，可在原题上作适度变式训练.
问题2（极坐标方程与直角坐标方程互化）
例题2：极坐标系中，直线与圆的交点的极坐标为(　　)
A． B． C． D．
解：法一：选A；可化为直角坐标方程，即
可化为，把代入得
，所以，
所以直线与圆的交点坐标为，化为极坐标为，故选A.
法二：联立得：
，，，
，代入中，
当时，；当时，；
交点的极坐标为
【提炼】：本道试题设计意图是希望学生先通过互化公式，借由较为熟悉的普通方程破解问题，再进一步利用极坐标方程求解，体验极坐标方程探究问题的一般思路过程与价值.
问题3（参数方程与普通方程互化）
例题3：把下列参数方程化为普通方程．
(1) (t为参数)；(2) (θ为参数，)；(3) (t为参数)
解：(1)由已知得，代入中得
即它的普通方程为.
(2)∵，∴，即, 又∵，
∴其普通方程为
(3) ∴得，此方程表示双曲线.
【提炼】：如何消参是参数方程与普通方程之间互化的难点，通过观察寻找发现两个方程间的联系，从而灵活运用相关公式消参是核心关键.
四、总结提升
1.直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式直接代入并化简即可.
2.极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法，但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
3.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.
五、即时检测
1.（极坐标方程与直角坐标方程互化）在极坐标系中，则曲线
与的交点的极坐标为 .
答案： .
2.（参数方程与普通方程互化）若曲线C的参数方程为 (θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是(　　)
A．直线
B．以为端点的射线
C．圆
D．以,为端点的线段
答案：D

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