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第78课 坐标系与参数方程应用
一、目标导引
1.已知直线 (t为参数)上两点A，B对应的参数值是，则|AB|等于(　　)
A． B． C. D.
2.为了使参数t有更具体的几何意义，通常将直线的参数方程写成何种形式？其中t的
几何意义是什么？
二、知识梳理
1. 过定点，倾斜角为的直线参数方程为 (是参数)
2. 的几何意义是 直线上的点P到点有向线段的数量，即.
3. 直线上任意两点对应的参数分别为，则
①P1、P2两点的坐标分别是 ， ；
②|P1P2|＝ ；
③P1P2的中点对应的参数为 ，则P到定点P0的距离＝ ；
④若P0为线段P1P2的中点，则.
三、问题研讨
问题1（直线参数的几何意义）
例题1：在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (为参数)，
直线l经过点，倾斜角.
(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A、B两点，求的值．
【提炼】：利用直线参数的几何意义求解相关弦长，要注意符号，既可利用韦达定理判定是否同号，也可利用图像观察两个交点是否位于定点的同侧（异侧）加以确定.
问题2（三角参数求最值）
例题2：平面直角坐标系中，已知曲线：，将曲线上所有点横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后，得到曲线.
(1)试写出曲线的参数方程；
(2)在曲线上求点P，使得点P到直线l：的距离最大，并求距离的最大值．
【提炼】：大凡求曲线上的动点到顶直线的距离的最值，均可通过设出动点的含参坐标，结合点到直线的距离公式，籍由辅助角公式化归为三角最值求解.
问题3（的几何意义）
例题3A：直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为 (φ为参数，)
以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是，射线OM：与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段的长．
例题3B．(ρ的几何意义)在极坐标系中，曲线C：，l：，C与l有且仅有一个公共点.
(1)求a；
(2)O为极点，A，B为C上的两点，且，求的最大值。]
【提炼】：利用的几何意义求弦长的前提多为过极点的直线与曲线的相交弦问题，一般要求先作图理解题意，再挖掘相交弦与的联系求解
四、总结提升
1.直线标准参数形式中的参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，所求问题与定点到A，B两点的距离有关．解题时主要利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．
2.圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离等问题．非常简捷方便，是解决这类问题的好方法.
五、即时检测
1.（直线的参数方程）直线 (t为参数)的倾斜角为(　　)
A．70° B．20° C．160° D．110°
2.（直线参数的几何意义）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 (t为参数)，直线l与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为 .
第78课 坐标系与参数方程应用（甲卷）
一、目标导引
1.已知直线 (t为参数)上两点A，B对应的参数值是，则|AB|等于(　　)
A． B． C. D.
解：选C；依题意， A，B
则|AB|＝
2.为了使参数t有更具体的几何意义，通常将直线的参数方程写成何种形式？其中t的
几何意义是什么？
过点，倾斜角为的直线l的参数方程是 (是参数)
的几何意义是直线上的点P到点的有向线段的数量，即.
二、知识梳理
1. 过定点，倾斜角为的直线参数方程为 (是参数)
2. 的几何意义是 直线上的点P到点有向线段的数量，即.
3. 直线上任意两点对应的参数分别为，则
①P1、P2两点的坐标分别是，；
②|P1P2|＝；
③P1P2的中点对应的参数为，则P到定点P0的距离＝；
④若P0为线段P1P2的中点，则.
三、问题研讨
问题1（直线参数的几何意义）
例题1：在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (为参数)，
直线l经过点，倾斜角.
(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A、B两点，求的值．
解：(1)圆C的标准方程为.
直线l的参数方程为 (t为参数)，即(t为参数).
(2)把直线l的参数方程代入，
得，，
所以，即＝11.
【提炼】：利用直线参数的几何意义求解相关弦长，要注意符号，既可利用韦达定理判定是否同号，也可利用图像观察两个交点是否位于定点的同侧（异侧）加以确定.
问题2（三角参数求最值）
例题2：平面直角坐标系中，已知曲线：，将曲线上所有点横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后，得到曲线.
(1)试写出曲线的参数方程；
(2)在曲线上求点P，使得点P到直线l：的距离最大，并求距离的最大值．
解：(1)曲线C1参数方程为 (为参数)，由得,
∴曲线C2的参数方程为 (为参数).
(2)由(1)得点P(cosθ，sinθ)
则点P到直线l的距离，
其中，则最大，此时点P的坐标为 .
【提炼】：大凡求曲线上的动点到顶直线的距离的最值，均可通过设出动点的含参坐标，结合点到直线的距离公式，籍由辅助角公式化归为三角最值求解.
问题3（的几何意义）
例题3A：直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为 (φ为参数，)
以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是，射线OM：与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段的长．
解：(1)半圆C的普通方程为,
又,
所以半圆C的极坐标方程是，.
(2)设为点P的极坐标，则有解得 ；
设为点Q的极坐标，则有解得
由于，所以,所以线段的长为4.
例题3B．(ρ的几何意义)在极坐标系中，曲线C：，l：，C与l有且仅有一个公共点.
(1)求a；
(2)O为极点，A，B为C上的两点，且，求的最大值。]
解析：(1)曲线C：，变形，
化为，即
∴曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆.
由l：，展开为，
∴l的直角坐标方程为.
由直线l与圆C相切可得,，解得
(2)不妨设A的极角为，B的极角为，
则，
当时，取得最大值.
【提炼】：利用的几何意义求弦长的前提多为过极点的直线与曲线的相交弦问题，一般要求先作图理解题意，再挖掘相交弦与的联系求解
四、总结提升
1.直线标准参数形式中的参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，所求问题与定点到A，B两点的距离有关．解题时主要利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．
2.圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离等问题．非常简捷方便，是解决这类问题的好方法.
五、即时检测
1.（直线的参数方程）直线 (t为参数)的倾斜角为(　　)
A．70° B．20° C．160° D．110°
答案：B
2.（直线参数的几何意义）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 (t为参数)，直线l与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为 .
答案：

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