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第79课 极坐标参数方程应用2
一、目标导引
1.以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆的参数方程为 .
2.若选取旋转角（圆心角）为参数，求上题中圆的参数方程
二、知识梳理
1. 极坐标的几何意义
设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离叫做点M的 ，记为 ；
以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的 ，记为 θ ，
有序数对叫做点M的 极坐标 ，记为 ．
2.直线标准参数t的几何意义
过定点，倾斜角为α的直线参数方程为 (t为参数)
设 是直线上的任一点，则表示有向线段的数量．
三、问题研讨
问题1（极坐标、参数的几何意义）
例题1：在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为 .
【提炼】：结合图像利用的几何意义求点或曲线的极坐标（方程）相较化为普通方程求解相关试题，凸显参数的价值所在。解题时务必要先作出图像，根据题意条件寻找图像中能够体现的几何量，再回归方程求解.
问题2（三角参数求最值）
例题2：在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【提炼】：利用曲线动点坐标获取有关最值的三角函数难度不大，如何立足三角函数相关方法突破含参的最值需要进一步加强.
问题3（曲线的轨迹方程）
例题3：已知圆C：，直线l：.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
【提炼】：求动点的轨迹方程可结合解析几何中的一般方法：直接法、几何法、坐标转移法、交轨法，求解问题.
问题4（分类讨论下的方程与图像）
例题：在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.
【提炼】：有关曲线的含参方程问题，参数范围可能会影响曲线的位置关系，解决此类问题要回归曲线的概念定义，寻求满足题意的 临界位置相应的几何条件，进而转化为代数关系式.
四、总结提升
1.直线标准参数形式中的参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，所求问题与定点到A，B两点的距离有关．解题时主要利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．
2.圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离等问题．非常简捷方便，是解决这类问题的好方法.
五、即时检测
1.（极坐标的几何意义）在极坐标系中，O是极点，设，，则的面积为 .
2.（参数方程）参数方程 (θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
第79课 极坐标参数方程应用2
一、目标导引
1.以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆的参数方程为 .
解：记圆心为，圆C的半径为，圆上任意一点，
连结，则故，(θ为参数)
所以圆的参数方程为 (θ为参数).
2.若选取旋转角（圆心角）为参数，求上题中圆的参数方程
(为参数)
二、知识梳理
1. 极坐标的几何意义
设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离叫做点M的 极径 ，记为 ；
以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的 极角 ，记为 θ ，
有序数对叫做点M的 极坐标 ，记为．
2.直线标准参数t的几何意义
过定点，倾斜角为α的直线参数方程为 (t为参数)
设 是直线上的任一点，则表示有向线段的数量．
三、问题研讨
问题1（极坐标、参数的几何意义）
例题1：在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为 .
解：在中，令θ＝0，得＝1，
所以圆C的圆心坐标为.
如图所示，因为圆C经过点，
所以圆C的半径，
圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为.
【提炼】：结合图像利用的几何意义求点或曲线的极坐标（方程）相较化为普通方程求解相关试题，凸显参数的价值所在。解题时务必要先作出图像，根据题意条件寻找图像中能够体现的几何量，再回归方程求解.
问题2（三角参数求最值）
例题2：在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.
C上的点到的距离为.
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.
【提炼】：利用曲线动点坐标获取有关最值的三角函数难度不大，如何立足三角函数相关方法突破含参的最值需要进一步加强.
问题3（曲线的轨迹方程）
例题3：已知圆C：，直线l：.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解：(1)将代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为
C：，l:.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为，，，
则由得.
又，，所以＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为.
【提炼】：求动点的轨迹方程可结合解析几何中的一般方法：直接法、几何法、坐标转移法、交轨法，求解问题.
问题4（分类讨论下的方程与图像）
例题：在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.
解：（1）由，代入极坐标方程为中，得的直角坐标方程为．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线，
记轴右边的射线为，轴左边的射线为，
由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点；
等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
①当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，
所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；
当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
②当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，
所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
【提炼】：有关曲线的含参方程问题，参数范围可能会影响曲线的位置关系，解决此类问题要回归曲线的概念定义，寻求满足题意的 临界位置相应的几何条件，进而转化为代数关系式.
四、总结提升
1.直线标准参数形式中的参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，所求问题与定点到A，B两点的距离有关．解题时主要利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．
2.圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离等问题．非常简捷方便，是解决这类问题的好方法.
五、即时检测
1.（极坐标的几何意义）在极坐标系中，O是极点，设，，则的面积为 .
答案：5
2.（参数方程）参数方程 (θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A

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