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第66课 直线与圆锥曲线的位置关系
一、目标导引
题目：
1.已知直线与抛物线相切，则等于 (　　)
A. B. C. D.
2.双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，直线与双曲线的左，右两支都相交的充要条件是 (　　)
A. B. C.或 D.
问题：抛物线的切线问题有几种处理方式？直线与双曲线的位置关系中，双曲线的渐近线起到什么作用？
二、知识梳理
如何判定直线与圆锥曲线的位置关系？直线与圆锥曲线相交时，弦长公式有几种常见的形式？
预设：
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定
（1）代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程.
方程的解 与的交点
无解(含l是双曲线的渐近线) 无公共点
有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行) 一个交点
两个不相等的解 两个交点
两个相等的解 一个交点
无实数解 无交点
（2）几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
注意：①直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
②直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．
2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为的直线与圆锥曲线相交于，两点，，，则.
.
3.中点弦（中垂线）问题常用的求解方法：
①点差法；②根与系数的关系法.
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.
4.圆锥曲线中的最值问题：
（1）转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值.
（2）利用代数式的有界性求最值.
（3）利用圆锥曲线的几何性质求最值.
5.定点、定值及探索性问题：
（1）圆锥曲线中定值（点）问题的特点及两大解法
(ⅰ)特点：特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
(ⅱ)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②引进变量法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(或定值)．其解题流程为：
三、问题研讨
问题1 简单的求值问题
例题1 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．
提炼：①等面积法是解决多边形内切圆问题的重要方法；②直线与非圆二次曲线的位置关系中，相切作为一种特殊的位置关系，联立消元转化为二次方程，利用判别式等于零解题是常用的思路与方法.
问题2 圆锥曲线中的弦长、面积问题
例题2 （2019莆田二检B卷理20）已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于两点，，求的面积．
提炼：直线与圆锥曲线的位置关系中，弦长公式：
.
是重要的考查内容，根据题目所提供的条件选择恰当的直线形式及恰当的弦长公式，将大大简化运算量。
问题3 弦中点问题（点差法）
例题3 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于________．
提炼：在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率，以上的“点差法”计算公式无疑减少了诸多思维过程、运算过程，但在利用“点差法”解题时，务必检验直线与圆锥曲线是相交的，否则将产生增根.
问题4 圆锥曲线中的最值问题
例题4 （2019福州一检理20）已知圆：，椭圆的短半轴长等于圆的半径，且过右焦点的直线与圆相切于点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线与圆相切，且与相交于两点，求点到弦的垂直平分线距离的最大值.
提炼：解决圆锥曲线中的最值问题通常可考虑以下两种方向：①函数观点，把求最值的变量表示为另一变量的函数，从而转化为函数求值域或最值问题，此时自变量的选择变得尤为重要；②利用不等式（基本不等式链）解题.
问题5 圆锥曲线中的定点定值问题
例题5 （2019龙岩一检理）已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．为椭圆上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率满足：．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．
提炼：解决定点定值问题时，通常可考虑先猜后证的办法，先通过图形的对称性，取特殊值、特殊位置确定定点或定值，再证明一般情形下也满足该定点或定值，一定程度上降低了思维难度.
四、总结提升
（1）研究直线与圆锥曲线的位置关系时，应注意两种特殊情况：①直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；②直线过圆锥曲线的焦点．
（2）中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.
（3）解决最值问题的常见办法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
（4）定点定值问题通常可采用“先猜后证”的方法，从特殊入手，先确定定点值，再进行证明，这个过程通常需要注意图形的对称性.
五、即时检测
试题：（1）过点且与双曲线只有一个交点的直线有 （ ）
A.条 B.条 C.条 D.条
（2）过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 (　　)
A. B. C. D.
第66课 直线与圆锥曲线的位置关系
一、目标导引
题目：
1.已知直线与抛物线相切，则等于 (　　)
A. B. C. D.
2.双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，直线与双曲线的左，右两支都相交的充要条件是 (　　)
A. B. C.或 D.
问题：抛物线的切线问题有几种处理方式？直线与双曲线的位置关系中，双曲线的渐近线起到什么作用？
答案：1.C 2.D
解：1.由，消去得，所以，解得.
2.由双曲线渐近线的几何意义知：.
二、知识梳理
如何判定直线与圆锥曲线的位置关系？直线与圆锥曲线相交时，弦长公式有几种常见的形式？
预设：
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定
（1）代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程.
方程的解 与的交点
无解(含l是双曲线的渐近线) 无公共点
有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行) 一个交点
两个不相等的解 两个交点
两个相等的解 一个交点
无实数解 无交点
（2）几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
注意：①直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
②直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．
2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为的直线与圆锥曲线相交于，两点，，，则.
.
3.中点弦（中垂线）问题常用的求解方法：
①点差法；②根与系数的关系法.
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.
4.圆锥曲线中的最值问题：
（1）转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值.
（2）利用代数式的有界性求最值.
（3）利用圆锥曲线的几何性质求最值.
5.定点、定值及探索性问题：
（1）圆锥曲线中定值（点）问题的特点及两大解法
(ⅰ)特点：特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
(ⅱ)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②引进变量法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(或定值)．其解题流程为：
三、问题研讨
问题1 简单的求值问题
例题1 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．
解：（1）因为椭圆的左焦点为，所以.
将点代入椭圆方程，得，即，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率显然存在且不等于，设直线的方程为，
由消去并整理得.
因为直线与椭圆相切，所以.
整理得.①
由消去并整理得.
因为直线与抛物线相切，所以，整理得.②
综合①②，解得或.
所以直线的方程为或.
提炼：①等面积法是解决多边形内切圆问题的重要方法；②直线与非圆二次曲线的位置关系中，相切作为一种特殊的位置关系，联立消元转化为二次方程，利用判别式等于零解题是常用的思路与方法.
问题2 圆锥曲线中的弦长、面积问题
例题2 （2019莆田二检B卷理20）已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于两点，，求的面积．
解：（1）由是边长8的等边三角形，得，
又由抛物线的定义，可得.
设准线与轴交于点，则，
所以.
所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）依题意可知，直线的斜率不为，
故可设直线的方程为，
联立得．
设，则．
所以.
．
由得，
=
，
所以
所以.
记，所以，
即的面积为4.
提炼：直线与圆锥曲线的位置关系中，弦长公式：
.
是重要的考查内容，根据题目所提供的条件选择恰当的直线形式及恰当的弦长公式，将大大简化运算量。
问题3 弦中点问题（点差法）
例题3 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于________．
解：设，，则，
所以，所以.
因为，，，所以，
所以.又因为，所以，所以，
所以.
提炼：在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率，以上的“点差法”计算公式无疑减少了诸多思维过程、运算过程，但在利用“点差法”解题时，务必检验直线与圆锥曲线是相交的，否则将产生增根.
问题4 圆锥曲线中的最值问题
例题4 （福州一检理20）已知圆：，椭圆的短半轴长等于圆的半径，且过右焦点的直线与圆相切于点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线与圆相切，且与相交于两点，求点到弦的垂直平分线距离的最大值.
解：（1）解法一：由条件知，所以.
过点且与圆相切的直线方程为：，即.
令得，，由题意知，，从而
所以椭圆的方程为：.
（2）设点到弦的垂直平分线的距离为，
①若直线轴，弦的垂直平分线为轴，所以；若直线轴，弦的垂直平分线为轴，所以.
②设直线的方程为，因为与圆相切，
所以，即.
由，消去得.
设，由韦达定理知：
.
所以AB中点的坐标为，
所以弦的垂直平分线方程为，即.
所以.
将代入得，，
（当且仅当，时，取等号）．
综上所述，点到弦的垂直平分线距离的最大值为.
解法二：设点到弦的垂直平分线的距离为，
①若直线轴，弦的垂直平分线为轴，所以；若直线轴，弦的垂直平分线为轴，所以.
②设，AB中点坐标为，由点在椭圆上得，
，
由①－②得，，
即，
所以直线的方程为：，化简得.
因为直线与圆相切，所以，化简得，
又因为弦的垂直平分线方程为，即，
所以，点到弦的垂直平分线的距离为：
，当且仅当时，取等号.所以点到弦的垂直平分线距离的最大值为.
提炼：解决圆锥曲线中的最值问题通常可考虑以下两种方向：①函数观点，把求最值的变量表示为另一变量的函数，从而转化为函数求值域或最值问题，此时自变量的选择变得尤为重要；②利用不等式（基本不等式链）解题.
问题5 圆锥曲线中的定点定值问题
例题5 （2019龙岩一检理）已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．为椭圆上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率满足：．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．
解：（Ⅰ）设则
由得，
由，即得，
所以，所以
即椭圆的标准方程为：
（Ⅱ）设
由得：
又与圆C相切，所以即
所以
所以，，即
所以，以线段为直径的圆经过原点.
提炼：解决定点定值问题时，通常可考虑先猜后证的办法，先通过图形的对称性，取特殊值、特殊位置确定定点或定值，再证明一般情形下也满足该定点或定值，一定程度上降低了思维难度.
四、总结提升
（1）研究直线与圆锥曲线的位置关系时，应注意两种特殊情况：①直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；②直线过圆锥曲线的焦点．
（2）中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.
（3）解决最值问题的常见办法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
（4）定点定值问题通常可采用“先猜后证”的方法，从特殊入手，先确定定点值，再进行证明，这个过程通常需要注意图形的对称性.
五、即时检测
试题：（1）过点且与双曲线只有一个交点的直线有 （ ）
A.条 B.条 C.条 D.条
（2）过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 (　　)
A. B. C. D.
答案：（1）C （2）B
解：（1）过点且平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线只有一个交点，此时所求直线有条.又因为过点且垂直于轴的直线与双曲线也只有一个交点,故总共有条直线.
（2）令，，则双曲线的离心率为，双曲线的渐近线的斜率为.
据题意，，如图所示．
因为，所以，所以，所以.

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