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第67课 圆锥曲线综合
一、目标导引
1．判定一条动直线与圆锥曲线的位置关系有那些方法 可否利用导数求任意圆锥曲线的切线 举例说明.
2. 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．
二、知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定：
方法策略 三种位置关系的化归 数学思想方法
(1)代数法 方程的解 方程组思想——消元降次
(2)几何法 是否存在定点落在曲线内部与临界位置（相切、平行） 几何直观——线性规划
2．直线与圆锥曲线的相交弦长公式
3．中点弦（中垂线）问题常用的求解方法：
点差法； 根与系数的关系法.
2.如何求轨迹
（1）直接法 （2）定义法 （3）转移法 （4）交轨法
三、问题研讨
问题1 圆锥曲线方程
问题1 【2019全国II卷理21】已知点,,动点满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线.求的方程，并说明是什么曲线。
变式1 若改成斜率之积为？
变式2 若改成斜率之积为？
变式3 若改成斜率之积为？
提炼：设斜率值积为，当时，表示焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；当时，表示焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；当时，表示圆，不含左右顶点；当时，表示焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点；
问题2 圆锥曲线中有关定义及性质
例题2 （1）(2016年浙江)已知椭圆：()与双曲线
：()的焦点重合，，分别为，的离心率，则
A．且 B．且
C．且 D．且
（2）已知椭圆与双曲线有共同的焦点,且在第一象限内相交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为.若,则下列与的关系式正确的是 （ ）
A. B. C. D.
提炼：圆锥曲线中有关焦点三角形问题，一定要回归定义，与解三角形交汇，利用正余弦定理求解基本量.
问题3 圆锥曲线与圆交汇
例题3 （2019漳州二检理6）已知点在圆上，点在抛物线上，则的最小值为
A． 　　　　　B． C． D．
提炼：圆锥曲线中与圆交汇，仍需回归圆锥曲线定义及圆的定义.
问题4 直线与圆锥曲线综合
例题4 已知椭圆的离心率为，上顶点为. 点在上，点，的最大面积等于.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线与交于另一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值.
四、总结提升
1．圆锥曲线中的交汇问题：
(1)与定义相关问题，需回归定义，如椭圆双曲线回到解焦点三角形，抛物线到焦点距离转化为到准线距离．
(2)与圆交汇问题，要回归平面几何的性质，注重数形结合．
(3)与解三角形、数列、不等式交汇问题，要学会快速剥离背景，找到问题本质．
2.求圆锥曲线轨迹方程的常用方法
(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为、的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
(3)相关点法(代入法)：当所求动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动.如果相关点所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
五、即时检测
1. （2019全国I卷文10）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为
A． B． C． D．
2. （2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．求点的轨迹方程.
第67课 圆锥曲线综合
一、目标导引
1．判定一条动直线与圆锥曲线的位置关系有那些方法 可否利用导数求任意圆锥曲线的切线 举例说明.
解析：详见知识梳理中直线与圆锥曲线的位置关系的判定.
2. 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．
解：（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或．
所以直线的方程为或．
（2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．
当与轴不垂直时，设的方程为，，，则，．
由得，可知，．
直线，的斜率之和为
．①
将，及，的表达式代入①式分子，可得
．
所以，可知，的倾斜角互补，所以．
综上．
二、知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定：
方法策略 三种位置关系的化归 数学思想方法
(1)代数法 方程的解 方程组思想——消元降次
(2)几何法 是否存在定点落在曲线内部与临界位置（相切、平行） 几何直观——线性规划
2．直线与圆锥曲线的相交弦长公式
3．中点弦（中垂线）问题常用的求解方法：
点差法； 根与系数的关系法.
2.如何求轨迹
（1）直接法 （2）定义法 （3）转移法 （4）交轨法
三、问题研讨
问题1 圆锥曲线方程
问题1 【2019全国II卷理21】已知点,,动点满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线.求的方程，并说明是什么曲线。
解：由题设得，化简得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．
变式1 若改成斜率之积为？
解：由题设得，化简得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．
变式2 若改成斜率之积为？
解：由题设得，化简得，所以为中心原点位圆心，半径为2的圆，不含左右顶点．
变式3 若改成斜率之积为？
解：由题设得，化简得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点．
提炼：设斜率值积为，当时，表示焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；当时，表示焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；当时，表示圆，不含左右顶点；当时，表示焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点；
问题2 圆锥曲线中有关定义及性质
例题2 （1）(2016年浙江)已知椭圆：()与双曲线
：()的焦点重合，，分别为，的离心率，则
A．且 B．且
C．且 D．且
解析：由题意知，即，则
，
所以．故选A．
（2）已知椭圆与双曲线有共同的焦点,且在第一象限内相交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为.若,则下列与的关系式正确的是 （ ）
A. B. C. D.
解析：设,，焦距为,则有，，解得，,余弦定理可得,即，选D.
提炼：圆锥曲线中有关焦点三角形问题，一定要回归定义，与解三角形交汇，利用正余弦定理求解基本量.
问题3 圆锥曲线与圆交汇
例题3 （2019漳州二检理6）已知点在圆上，点在抛物线上，则的最小值为
A． 　　　　　B． C． D．
解析：圆心为抛物线焦点，，
提炼：圆锥曲线中与圆交汇，仍需回归圆锥曲线定义及圆的定义.
问题4 直线与圆锥曲线综合
例题4 已知椭圆的离心率为，上顶点为. 点在上，点，的最大面积等于.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线与交于另一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值.
解：（Ⅰ）由题意，可得的最大面积为，即.
又　
　
联立①②③，解得，，
故的方程.　
（Ⅱ）设直线的方程为，，.　
联立方程组消去，得，
整理，得，
由韦达定理，得，
又直线的方程为，所以，
直线的方程为，所以，
所以　
即为定值.　
解法二：（Ⅰ）同解法一；　
（Ⅱ）设直线的方程为，，.　
联立方程组消去，得，
整理，得，
由韦达定理，得，
所以　
又，故，
即为定值.　
四、总结提升
1．圆锥曲线中的交汇问题：
(1)与定义相关问题，需回归定义，如椭圆双曲线回到解焦点三角形，抛物线到焦点距离转化为到准线距离．
(2)与圆交汇问题，要回归平面几何的性质，注重数形结合．
(3)与解三角形、数列、不等式交汇问题，要学会快速剥离背景，找到问题本质．
2.求圆锥曲线轨迹方程的常用方法
(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为、的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
(3)相关点法(代入法)：当所求动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动.如果相关点所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
五、即时检测
1. （2019全国I卷文10）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为
A． B． C． D．
答案:D.
解析：,即,.
2. （2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．求点的轨迹方程.
解析：设，，则，，．
由得 ，．
因为在上，所以．
因此点的轨迹方程为．

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