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第69课 抽样方法
一、目标导引：
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是（　　）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
2．我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是__________．
二、知识梳理:
1．简单随机抽样 (1)抽取方式：逐个不放回抽取； (2)特点：每个个体被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽签法和随机数法．
2．分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3．系统抽样的步骤 假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本． (1)先将总体的个个体编号； (2)确定分段间隔，对编号进行分段．当(是样本容量)是整数时，取； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l()； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将加上间隔得到第2个个体编号，再加得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．
三、问题研讨：
问题1（简单随机抽样）
例题1A：下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)
①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0　　　　　B．1　　　　 C．2　　　　 D．3
例题1B：总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
【提炼】1.简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相同．
2．(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)随机数法适用于总体中个体数较多的情形．其中随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本．
问题2（系统抽样）
例题2A：在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(　　)
A．3　　　　　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6
例题2B：从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________.
【提炼】1.如果总体容量能被样本容量整除，则抽样间隔为，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样．特别注意，每个个体被抽到的概率均是．
2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
问题3（分层抽样）
例题3A：某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
A．90 B．100 C．180 D．300
例题3B：某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．
【提炼】1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
2．为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即，分层抽样的有关计算，转化为按比例列方程或算式求解．
问题4（抽样方法与概率结合）
某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量分布在内，且销售量的分布频率
.
（1）求的值并估计销售量的平均数；
（2）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自个组，求随机变量的分布列及数学期望（将频率视为概率）.
分析：（1）由于，因此可根据题中解析式列出不等式组，求出的所有可能值，代入，再利用总体分布频率为1可求得，利用各区间的中位数及频率可估算出平均数；
（2）由分层抽样可求得销售量在内所抽取的天数分别为2，3，3.而的所有可能值分别为1,2,3，分别计算可得各概率，由期望公式可得期望．
四、总结提升：三种抽样方法的区别和联系
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的概率相等 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少
系统抽样 将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中个体数较多
分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成
五、即时检测
1.了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)
A．50 B．40
C．25 D．20
2．某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为且构成等差数列，则第二车间生产的产品数为(　　)
A．800双 B．1000双 C．1200双 D．1500双
第69课 抽样方法
一、目标导引：
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是（　　）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
2．我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是__________．
1．解：A，B为系统抽样，C为分层抽样，故选D．
2．解：甲班有男生30人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男生分层抽取20%的学生，故有．
二、知识梳理:
1．简单随机抽样 (1)抽取方式：逐个不放回抽取； (2)特点：每个个体被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽签法和随机数法．
2．分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3．系统抽样的步骤 假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本． (1)先将总体的个个体编号； (2)确定分段间隔，对编号进行分段．当(是样本容量)是整数时，取； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l()； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将加上间隔得到第2个个体编号，再加得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．
三、问题研讨：
问题1（简单随机抽样）
例题1A：下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)
①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0　　　　　B．1　　　　 C．2　　　　 D．3
解答：①②③中都不是简单随机抽样，这是因为：①是放回抽样，②中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，③中“指定个子最高的5名同学”，不存在随机性，不是等可能抽样．故选A．
例题1B：总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
解答：由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01，故选D．
【提炼】1.简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相同．
2．(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)随机数法适用于总体中个体数较多的情形．其中随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本．
问题2（系统抽样）
例题2A：在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(　　)
A．3　　　　　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6
解答：抽样间隔为35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．故选B．
例题2B：从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________.
解答：由系统抽样知，抽样间隔k＝＝16，因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44.故所取出的5个编号依次为12,28,44,60,76，即最大编号为76．
【提炼】1.如果总体容量能被样本容量整除，则抽样间隔为，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样．特别注意，每个个体被抽到的概率均是．
2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
问题3（分层抽样）
例题3A：某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
A．90 B．100 C．180 D．300
解答：设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180.
例题3B：某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．
解答：法一：由题意可得，解得.
法二：由题意，抽样比为，总体容量为，
故．
【提炼】1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
2．为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即，分层抽样的有关计算，转化为按比例列方程或算式求解．
问题4（抽样方法与概率结合）
某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量分布在内，且销售量的分布频率
.
（1）求的值并估计销售量的平均数；
（2）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自个组，求随机变量的分布列及数学期望（将频率视为概率）.
分析：（1）由于，因此可根据题中解析式列出不等式组，求出的所有可能值，代入，再利用总体分布频率为1可求得，利用各区间的中位数及频率可估算出平均数；
（2）由分层抽样可求得销售量在内所抽取的天数分别为2，3，3.而的所有可能值分别为1,2,3，分别计算可得各概率，由期望公式可得期望．
解答：（1）由题知，解得，
可取，代入，得
，．销售量在内的频率分别是，
销售量的平均数为.
（2）销售量在内的频率之比为，所以各组抽取的天数分别为2，3，3.的所有可能值为1，2，3，
，
，
.
故的分布列为：
1 2 3
∴ 数学期望．
四、总结提升：三种抽样方法的区别和联系
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的概率相等 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少
系统抽样 将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中个体数较多
分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成
五、即时检测
1.了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)
A．50 B．40
C．25 D．20
解析：选C.根据系统抽样的特点可知分段间隔为，故选C.
2．某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为且构成等差数列，则第二车间生产的产品数为(　　)
A．800双 B．1000双 C．1200双 D．1500双
解析：选C．因为成等差数列，所以，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1200双皮靴．

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