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第71课 统计案例
一、目标导引：
1．网购已成为当今消费者喜欢的购物方式．某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数（千人）与其商品销售件数（百件）进行统计对比，得到如下表格：
网店名称 A B C D
3 4 6 7
11 12 20 17
由散点图知，可以用回归直线来近似刻画它们之间的关系．
（1）求与的回归直线方程；
（2）在（1）的回归模型中，请用说明销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）
参考公式：,．
二、知识梳理：
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为，
其中．
(3)通过求残差平方和的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当时，表明两个变量正相关；
当时，表明两个变量负相关．
的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越强．的绝对值越接近于时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常大于时，认为两个变量有很强的线性相关性．
(5)相关指数：
相关指数：．其中是残差平方和，其值越小，则越大（越接近1），模型拟合效果越好.
3.利用独立性检验解决问题的三步骤
(1)根据样本数据制成列联表．
假设有两个分类变量和，它们的取值分别为{，}和{，}，其样本频数列联表(称为列联表)为：
总计
总计
(2)根据公式：
(其中为样本容量) ，计算的值．
(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．
三、综合运用
问题1（线性回归方程及应用）
例题1．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
【提炼】　1.在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
2．(1)正确运用计算b，a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．(2)回归直线y＝bx＋a必过样本点的中心(，)．
问题2（非线性回归及其应用）
例题2：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中= ，
（1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与，的关系为 ，根据（2）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
问题3（独立性检验）
例题3．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
附：．
【提炼】　1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足. 越小，说明两个变量之间关系越弱；越大，说明两个变量之间关系越强．
2．解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式，计算的值；
(3)比较与临界值的大小关系，作统计推断．
问题4（综合应用）
例题4：2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
调查人数() 10 20 30 40 50 60 70 80
愿意整体搬迁人数() 8 17 25 31 39 47 55 66
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；
参考公式及数据： .
四、总结提升
1．回归直线一定经过样本的中心点．
2．解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测．
3.解决独立性检验问题的三步骤
(1)根据样本数据制成列联表．
(2)根据公式，计算的值．
(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．
五、即时检测
1.为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入(单位：万元)和年教育支出(单位：万元)，调查显示年收入与年教育支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．
2．为了判定两个分类变量和是否有关系，应用独立性检验法算得的观测值为5，又已知，，则下列说法正确的是(　　)
A．有的把握认为“和有关系”
B．有的把握认为“和没有关系”
C．有的把握认为“和有关系”
D．有的把握认为“和没有关系”
第71课 统计案例
一、目标导引：
1．网购已成为当今消费者喜欢的购物方式．某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数（千人）与其商品销售件数（百件）进行统计对比，得到如下表格：
网店名称 A B C D
3 4 6 7
11 12 20 17
由散点图知，可以用回归直线来近似刻画它们之间的关系．
（1）求与的回归直线方程；
（2）在（1）的回归模型中，请用说明销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）
参考公式：,．
1．解析：（1）∵，，，，
∴，，
∴所求的回归直线方程是．
（2）∵，，
∴．
说明销售件数的差异有是由关注人数引起的.
二、知识梳理：
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为，
其中．
(3)通过求残差平方和的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当时，表明两个变量正相关；
当时，表明两个变量负相关．
的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越强．的绝对值越接近于时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常大于时，认为两个变量有很强的线性相关性．
(6)相关指数：
相关指数：．其中是残差平方和，其值越小，则越大（越接近1），模型拟合效果越好.
3.利用独立性检验解决问题的三步骤
(1)根据样本数据制成列联表．
假设有两个分类变量和，它们的取值分别为{，}和{，}，其样本频数列联表(称为列联表)为：
总计
总计
(2)根据公式：
(其中为样本容量) ，计算的值．
(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．
三、综合运用
问题1（线性回归方程及应用）
例题1．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，
，，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由及（1）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
【提炼】　1.在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
2．(1)正确运用计算b，a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．(2)回归直线y＝bx＋a必过样本点的中心(，)．
问题2（非线性回归及其应用）
例题2：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
[:]
46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中= ，
（1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与，的关系为 ，根据（2）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
解析：（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型．
（2）令，先建立起关于的线性回归方程
由于，，
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的回归方程为．
（3）（ⅰ）由（2）知，当时，年销售量的预报值，
（ⅱ）根据（2）的结果知，年利润的预报值
，
∴当，即时，取得最大值.
故宣传费用为千元时，年利润的预报值最大．
问题3（独立性检验）
例题3．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
附：．
解答：（1）利用分层抽样，，所以应收集90位女生的样本数据.
（2）由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75.所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.
又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75
每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225
总计 210 90 300
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2的值
．
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
【提炼】　1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足. 越小，说明两个变量之间关系越弱；越大，说明两个变量之间关系越强．
2．解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式，计算的值；
(3)比较与临界值的大小关系，作统计推断．
问题4（综合应用）
例题4：2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
调查人数() 10 20 30 40 50 60 70 80
愿意整体搬迁人数() 8 17 25 31 39 47 55 66
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；
参考公式及数据： .
解答：由已知有，，，
，故变量关于变量的线性回归方程为，所以当时，．
四、总结提升
1．回归直线一定经过样本的中心点．
2．解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测．
3.解决独立性检验问题的三步骤
(1)根据样本数据制成列联表．
(2)根据公式，计算的值．
(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．
五、即时检测
1.为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入(单位：万元)和年教育支出(单位：万元)，调查显示年收入与年教育支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．
1．解析：由题意知，．
2．为了判定两个分类变量和是否有关系，应用独立性检验法算得的观测值为5，又已知，，则下列说法正确的是(　　)
A．有的把握认为“和有关系”
B．有的把握认为“和没有关系”
C．有的把握认为“和有关系”
D．有的把握认为“和没有关系”
2．解析：选　依题意，，且，因此有的把握认为“和有关系”，选A．

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