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第72课 随机事件的概率
1、 目标导引
1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？
2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？
3．任何一个随机事件与基本事件有何关系？
二、知识梳理
1．概率和频率
（1）在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件的概率．记作．
（2）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2.事件的关系与运算
定义 符号表示
并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)
互斥事件 若为不可能事件，那么称事件与事件互斥
对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件 且
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：.
(2)必然事件的概率：.
(3)不可能事件的概率：.
(4)互斥事件的概率加法公式：
①(互斥)，且有．
② (彼此互斥)．
三、问题研讨
问题1 随机事件的关系
例1A：口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件＝“取出的2球同色”，＝“取出的2球中至少有1个黄球”，＝“取出的2球至少有1个白球”，＝“取出的2球不同色”，＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.
①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件；④；⑤
例2 B(2017·全国Ⅲ)：某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．
[提炼] 准确把握互斥事件与对立事件的概念．
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．
问题2　随机事件的频率与概率
例题2A：近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
例题2B：某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4
保　费
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求的估计值；
(2)记为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[提炼] 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值。
问题3 互斥与对立事件的概率
例1A：　从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．①　　　　　　　　 B．②④
C．③ D．①③
例1B：经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
例题1C：某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，，求：
(1)，，；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[提炼] 求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．
四、总结提升
1. 正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而不充分条件．
2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；
二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
五、即时检测
试题1. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B. C. D．
第72课 随机事件的概率
2、 目标导引
1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？
提示　随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．
2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？
提示　当随机事件A，B互斥时，不一定对立，当随机事件A，B对立时，一定互斥．
3．任何一个随机事件与基本事件有何关系？
提示　任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和．
二、知识梳理
1．概率和频率
（1）在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件的概率．记作．
（2）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2.事件的关系与运算
定义 符号表示
并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)
互斥事件 若为不可能事件，那么称事件与事件互斥
对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件 且
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：.
(2)必然事件的概率：.
(3)不可能事件的概率：.
(4)互斥事件的概率加法公式：
①(互斥)，且有．
② (彼此互斥)．[:]
三、问题研讨
问题1 随机事件的关系
例1A：口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件＝“取出的2球同色”，＝“取出的2球中至少有1个黄球”，＝“取出的2球至少有1个白球”，＝“取出的2球不同色”，＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.
①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件；④；⑤
解答： 当取出的2个球中一黄一白时，与都发生，②不正确．
当取出的2个球中恰有一个白球时，事件与都发生，则③不正确
显然A与D是对立事件，①正确；为必然事件，④正确．
由于所以⑤不正确．
例2 B(2017·全国Ⅲ)：某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．
解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则，
所以，的所有可能值为.
大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为.
因此大于零的概率的估计值为.
[提炼] 准确把握互斥事件与对立事件的概念．
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．
问题2　随机事件的频率与概率
例题2A：近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
＝＝ .
（2）设生活垃圾投放错误为事件，则其对立事件表示生活垃圾投放正确．
事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量
与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，
即
所以
例题2B：某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4
保　费
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求的估计值；
(2)记为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解答：(1)事件发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为，故的估计值为.
(2)事件发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为，故的估计值为.
(3)由所给数据得
保费 0.85 1.25 1.5 1.75 2
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85×0.30＋×0.25＋1.25×0.15＋1.5×0.15＋1.75×0.10＋2×0.05＝1.1925.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925
[提炼] 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值。
问题3 互斥与对立事件的概率
例1A：　从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．①　　　　　　　　 B．②④
C．③ D．①③
解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．
答案：C
例1B：经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
解析：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则，所以.
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，
则，所以.
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以.
例题1C：某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，，求：
(1)，，；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解答： (1) ，
故事件，，的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为，则.
∵，，两两互斥，
∴＝.
故1张奖券的中奖概率约为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件，则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴＝＝，
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
[提炼] 求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．
四、总结提升
1. 正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而不充分条件．[
2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；
二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
五、即时检测
试题1. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B. C. D．
解答：2粒棋子恰好同一色可以同是黑色，也可以同是白色，故所求概率.

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