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第73课 概率的计算
一、目标导引
1.问题：设有关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
二、知识梳理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
＝.
4．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
5．几何概型的概率公式
P(A)＝.
三、问题研讨
问题1 古典概型
例题1：为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A. B. C. D.
[提炼]1.计算古典概型事件的概率可分三步，
(1)计算基本事件总个数n；
(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；
(3)代入公式求出概率P.
2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．
问题2 古典概型和统计的结合.
例题2. 海关对同时从 ， ，三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自 ， ，各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[提炼]概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．
问题3 几何概型
（1）利用线段比和面积比计算几何概型.
例题3：若在上任取实数，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
（2） 随机模拟
例题4． 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A. B. C. D.
[提炼]几何概型的关键是先准确表示出试验的全部结果所构成的区域图形，由题意将已知条件转化为事件满足的区域，在图形中画出事件发生的区域，然后用公式＝求出概率。
四、总结提升
1．要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．
2．解决几何概型问题，注意把握好以下几点：
(1)能正确区分古典概型与几何概型．
(2)准确分清几何概型中的测度．
(3)科学设计变量，数形结合解决问题．
3．几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．
五、即时检测
试题1．第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2名来自莫斯科国立大学，有4名来自圣彼得堡国立大学，现从这6名志愿者中随机抽取2人，则至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是(　　)
A． B． C． D．
第73课 概率的计算
一、目标导引
1.问题：设有关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解答：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求的概率为．
二、知识梳理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
＝.
4．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
5．几何概型的概率公式
P(A)＝.
三、问题研讨
问题1 古典概型
例题1：为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A. B. C. D.
解答:从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为，故选C.
[提炼]1.计算古典概型事件的概率可分三步，
(1)计算基本事件总个数n；
(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；
(3)代入公式求出概率P.
2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．
问题2 古典概型和统计的结合.
例题2. 海关对同时从 ， ，三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自 ， ，各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解答： (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
×＝1，×＝3，×＝2.所以 ， ，三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.
(2)设6件来自 ， ，三个地区的样品分别为：; , , ; ,.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件包含的基本事件有
，，，，共4个.
所以这2件商品来自相同地区的概率.
[提炼]概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．
问题3 几何概型
（1）利用线段比和面积比计算几何概型.
例题3：若在上任取实数，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
解答：∵， ∴，
∴的概率为
（2） 随机模拟
例题4． 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A. B. C. D.
解答:由已知圆形金质纪念币的直径为，得半径
则圆形金质纪念币的面积为
所以估计军旗的面积大约是
故答案选
[提炼]几何概型的关键是先准确表示出试验的全部结果所构成的区域图形，由题意将已知条件转化为事件满足的区域，在图形中画出事件发生的区域，然后用公式＝求出概率。
四、总结提升
1．要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．
2．解决几何概型问题，注意把握好以下几点：
(1)能正确区分古典概型与几何概型．
(2)准确分清几何概型中的测度．
(3)科学设计变量，数形结合解决问题．
3．几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．
五、即时检测
试题1．第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2名来自莫斯科国立大学，有4名来自圣彼得堡国立大学，现从这6名志愿者中随机抽取2人，则至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是(　　)
A． B． C． D．
解答：C
试题2.在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为________．
解答：若直线与圆相交，则，解得.由几何概型公式得.

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