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第十篇 推理与证明、算法初步、复数
一级结构 二级结构 主要内容 复习目标 教学策略
推理与证明 数学推理 数学证明 合情推理、演绎推理 比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法 1．理解合情推理、演绎推理的联系和差异，能利用归纳和类比等进行简单的推理，掌握演绎推理的基本模式. 2．理解综合法、分析法、反证法的概念及区别，能熟练地运用它们证题． 方法归纳
算法初步 算法与框图 程序框图、算法语言、算法案例 1．了解算法的含义，了解算法思想． 2．理解程序框图的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构． 3.了解几种基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 4. 了解辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制等算法案例. 知识梳理
复数 数系的扩充与复数的引入 复数的概念与运算 1.理解复数的基本概念； 2.理解复数相等的充要条件； 3.了解复数的代数表示法及其几何意义； 4.会进行复数代数形式的四则运算； 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 知识梳理
第74课 推理与证明
一、目标导引
1. 观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
根据规律第个等式为
2. 以上过程称为什么推理？还有哪些推理方法？这些推理的结论一定正确吗？证明的方法又有哪些？
二、知识梳理
1.合情推理
类型 定义 特点
归纳推理 根据一类事物的 对象具有某种性质，推出这类事物 对象都具有这种性质的推理 由 到 、 由 到
类比推理 根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理 由 到
2. 演绎推理
类型 定义 特点 一般模式
演绎推理 从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论 由 到 “三段论”： ①前提—已知的 ； ②小前提—所研究的特殊情况； ③结论—根据一般原理，对 作出的判断
3.直接证明
内容 综合法 分析法
定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质 由因导果 执果索因
框图表示 →→…→ →→ …→
文字语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证……即证……
4. 间接证明
内容 反证法
定义 假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.
一般步骤 ①反设——假设命题的结论不成立； ②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止； ③结论——假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
三、问题研讨
问题1（归纳推理）
例题1：若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：
①2＋4＝6；
②8＋10＋12＝14＋16；
③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；
……
按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为(　　)
A．29 B．30 C．31 D．32
问题2（类比推理）
如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)
A. B.
C.－1 D.＋1
变式1.将1,2,3,4，…这样的正整数按如图1 3 3所示的方式排成三角形数组，则第10行自左向右第10个数为________．
图1 3 3
问题3（逻辑推理）
例题3：甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：
甲说：获奖者在乙丙丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中的一人获奖；
丁说：乙猜测的是对的.
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是
A．甲和丁 B．甲和丙
C．乙和丙 D．乙和丁
变式2. 甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科，已知：
①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；
②在延安工作的教师不教学科；
③在咸阳工作的教师教学科；
④乙不教学科.
可以判断乙工作的地方和教的学科分别是______、_____．
问题4（演绎推理）
例题4（2019全国I理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
变式： （2019全国II理4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
问题5（分析法）
例题5：已知，求证：
问题6（反证法）
例题6：设数列是公比为的等比数列， 是它的前n项和．
（1）求证：数列不是等比数列；
（2）数列是等差数列吗？为什么？
四、总结提升
1.归纳推理主要包括数的归纳（数字、代数式）及形的归纳，解决此类问题时，寻求相邻数（代数式、图形）的联系或寻求数（代数式、图形）与序号之间的关系，常需要联系相关知识，如等差数列、等比数列等；
2.类比推理主要包括平面与空间的类比、性质、运算、方法的类比，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比；
3.演绎推理一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应明确什么是大前提和小前提；
4.分析法和综合法各有优缺点，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来；
5.当命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出与条件、假设、定义、公理、定理矛盾等；
五、即时检测
1.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)
A．设数列的前n项和为，由，求出推断：
B．由满足对都成立，推断为奇函数
C．由圆的面积，推断：椭圆的面积
D．由推断：对一切
2.①已知，求证，用反证法证明时，可假设；
②已知，求证方程的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设.
以下正确的是(　　)
A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确；②的假设错误 D.①的假设错误；②的假设正确
第十篇 推理与证明、算法初步、复数
一级结构 二级结构 主要内容 复习目标 教学策略
推理与证明 数学推理 数学证明 合情推理、演绎推理 比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法 1．理解合情推理、演绎推理的联系和差异，能利用归纳和类比等进行简单的推理，掌握演绎推理的基本模式. 2．理解综合法、分析法、反证法的概念及区别，能熟练地运用它们证题． 方法归纳
算法初步 算法与框图 程序框图、算法语言、算法案例 1．了解算法的含义，了解算法思想． 2．理解程序框图的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构． 3.了解几种基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 4. 了解辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制等算法案例. 知识梳理
复数 数系的扩充与复数的引入 复数的概念与运算 1.理解复数的基本概念； 2.理解复数相等的充要条件； 3.了解复数的代数表示法及其几何意义； 4.会进行复数代数形式的四则运算； 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 知识梳理
第74课 推理与证明
一、目标导引
1. 观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
根据规律第个等式为
2. 以上过程称为什么推理？还有哪些推理方法？这些推理的结论一定正确吗？证明的方法又有哪些？
以上为归纳推理，与类比推理合称为合情推理；还有演绎推理；合情推理结论不一定正确，演绎推理若大前提、小前提、推理形式均正确，结论就正确；证明方法有直接证明，包括综合法、分析法；间接证明包括反证法。
二、知识梳理
1.合情推理
类型 定义 特点
归纳推理 根据一类事物的 部分 对象具有某种性质，推出这类事物 全部 对象都具有这种性质的推理 由 部分 到 整体 、 由 个别 到 一般
类比推理 根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理 由 特殊 到 特殊
2. 演绎推理
类型 定义 特点 一般模式
演绎推理 从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论 由 一般 到 特殊 “三段论”： ①前提—已知的 一般原理 ； ②小前提—所研究的特殊情况； ③结论—根据一般原理，对 特殊情况 作出的判断
3.直接证明
内容 综合法 分析法
定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 充分 条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质 由因导果 执果索因
框图表示 →→…→ →→ …→
文字语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证……即证……
4. 间接证明
内容 反证法
定义 假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.
一般步骤 ①反设——假设命题的结论不成立； ②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止； ③结论——假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
三、问题研讨
问题1（归纳推理）
例题1：若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：
①2＋4＝6；
②8＋10＋12＝14＋16；
③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；
……
按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为(　　)
A．29 B．30 C．31 D．32
答案：C
解析：每个等式中正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，其前n项和，所以，则第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，
故2 018在第31个等式中．
问题2（类比推理）
如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)
A. B.
C.－1 D.＋1
解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为，
则B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)．
在“黄金双曲线”中，因为⊥，
所以·＝0.
又＝(c，b)，＝(－a，b)，
所以.而，所以.
在等号两边同除以，得，解得.
变式1.将1,2,3,4，…这样的正整数按如图1 3 3所示的方式排成三角形数组，则第10行自左向右第10个数为________．
图1 3 3
答案：91　
解析：由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1个数，且最后一个数为，所以第10行共19个数，最后一个数为100，自左向右第10个数是91.
问题3（逻辑推理）
例题3：甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：
甲说：获奖者在乙丙丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中的一人获奖；
丁说：乙猜测的是对的.
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是
A．甲和丁 B．甲和丙
C．乙和丙 D．乙和丁
答案：D
解析：乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从而获奖的是乙和丁.
变式2. 甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科，已知：
①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；
②在延安工作的教师不教学科；
③在咸阳工作的教师教学科；
④乙不教学科.
可以判断乙工作的地方和教的学科分别是______、_____．
答案:宝鸡，
解析:由③得在咸阳工作的教师教A学科；又由①得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；由④得乙不教B学科，结合③乙不教A学科，可得乙必教C学科，
所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作，
综上，乙工作地方和教的学科分别是宝鸡和C学科．故答案为：宝鸡，C．
问题4（演绎推理）
例题4（2019全国I理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
解析 头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，
可得咽喉至肚脐的长度小于，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小，即有该人的身高小于，
又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm之间．故选B．
变式： （2019全国II理4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
解析 解法一（直接代换运算）：由及可得，
.
因为，所以，则，.故选D.
解法二（由选项结构特征入手）：因为，所以，
r满足方程：．
所以，
所以故选D.
问题5（分析法）
例题5：已知，求证：
解：∵，∴所以要证原不等式成立，
只需证，
即证，
即证，
而显然成立，
故原不等式得证．
问题6（反证法）
例题6：设数列是公比为的等比数列， 是它的前n项和．
（1）求证：数列不是等比数列；
（2）数列是等差数列吗？为什么？
(1)证明：假设数列是等比数列，则，
即
因为，所以，
即，这与公比矛盾，所以数列不是等比数列．
(2)解：当时，，故是等差数列；
当时，不是等差数列，否则
即
得，这与公比矛盾．
四、总结提升
1.归纳推理主要包括数的归纳（数字、代数式）及形的归纳，解决此类问题时，寻求相邻数（代数式、图形）的联系或寻求数（代数式、图形）与序号之间的关系，常需要联系相关知识，如等差数列、等比数列等；
2.类比推理主要包括平面与空间的类比、性质、运算、方法的类比，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比；
3.演绎推理一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应明确什么是大前提和小前提；
4.分析法和综合法各有优缺点，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来；
5.当命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出与条件、假设、定义、公理、定理矛盾等；
五、即时检测
1.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)
A．设数列的前n项和为，由，求出推断：
B．由满足对都成立，推断为奇函数
C．由圆的面积，推断：椭圆的面积
D．由推断：对一切
答案：A
2.①已知，求证，用反证法证明时，可假设；
②已知，求证方程的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设.
以下正确的是(　　)
A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确；②的假设错误 D.①的假设错误；②的假设正确
答案：D

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