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目录
第 1 讲
等差数列及其前n项和 1
第 2 讲
等比数列及其前n项和 7
第 3 讲
求数列通项公式 13
第 4 讲
数列的求和 18
第 5 讲
数列的综合 23
参考答案与解析 28
第 1 讲 等差数列及其前n项和
第 1 讲 等差数列及其前n项和
1. （★★☆☆☆） （2018·内蒙古包头市期末）
已知数列 为等差数列， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
2. （★★☆☆☆）
已知 为等差数列， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
3. （★★☆☆☆）
《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把 个面包分给五个人，使每人所得成
等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最小 份为（ ）
A. B. C. D.
4. （★★☆☆☆） （2017·江西宜春市月考）
已知等差数列 中， ， ，则其前 项的和 （ ）
A. B. C. D.
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
5. （★★☆☆☆） （2015·安徽亳州市月考）
已知等差数列 中， ，则该数列前 项和 等于 （ ）
A. B. C. D.
6. （★★★☆☆） （2015·云南期中）
成等差数列的四个数的和为 ，第二数与第三数之积为 ，求这四个数．
7. （★★★☆☆） （2019·河南南阳市月考）
设 是递增的等差数列，前三项的和为 ，前三项的积为 ，则它的首项是（ ）
A. B. C. D.
8. （★★★☆☆）
已知等差数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，则它的前 项和为 （ ）
A. B. C. D.
9. （★★★☆☆）
已知数列 ， 是等差数列，其前 项和分别为 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10. （★★★☆☆） （2019·全国I【理】）
设 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
11. （★★★☆☆）
数列 的首项为 ， 为等差数列且 （ ），若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
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第 1 讲 等差数列及其前n项和
12. （★★★★☆） （2019·浙江舟山市市模拟）
等差数列 ， ， ， （ ），满足
，则（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是
13. （★★★★☆） （2019·浙江期中）
设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则使得 的最小的 为（ ）
A. B. C. D.
14. （★★★★☆） （2018·安徽安庆市期末【理】）
已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的正整数 的个数
是（ ）
A. B. C. D.
15. （★★★★☆） （2016·吉林延边朝鲜族自治州期中【文】）
两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，已知 ，则使 成立的正整数 的个数
是（ ）
A. B. C. D.
16. （★★★★☆）
设函数 ， 是公差为 的等差数列， ，则
（ ）
A. B. C. D.
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
17. （★★★☆☆）
设数列 ， 都是等差数列，若 ， ，则 1 ．
18. （★★☆☆☆）
已知等差数列 的前 项和等于前 项和．若 ， ，则 1 ．
19. （★★☆☆☆） （2017·安徽合肥市期中）
已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 1 ．
20. （★★★☆☆）
设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 1 ．
21. （★★★☆☆）
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 节的容积共为 升，下面
节的容积共 升，则第 节的容积为1 升．
22. （★★★★☆）
已知数列 和 的通项公式分别为 ， ，则它们的公共项组成的新数列 的通项公式为
1 ．
23. （★★★★☆）
已知正项数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为1 ．
24. （★★★★☆）
数列 （ ），如果 是一个等差数列，则 1 ．
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第 1 讲 等差数列及其前n项和
25. （★★★★☆） （2019·上海闵行区市期末）
等 差 数 列 前 项 和 为 ， 已 知 ，
，则 1 ．
26. （★★★★☆）
设等差数列 的公差为 ，前 项的和为 ，若数列 也是公差为 的等差数列，则 1 ．
27. （★★☆☆☆）
三个数成等差数列，其和是 ，公差为 ，求这三个数．
28. （★★☆☆☆） （2011·福建【文】）
已知等差数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和 ，求 的值．
29. （★★★☆☆） （2019·新课标I【文】）
记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求使得 的 的取值范围．
30. （★★★★☆）
已知公差大于零的等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（1）求通项 ；
（2）求 的最小值．
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
31. （★★★☆☆） （2019·北京海淀区模拟【文】）
已知 是各项均为正数的等比数列， ，设 ，且 ．
（1）求证：数列 是以 为公差的等差数列．
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的最大值．
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第 2 讲 等比数列及其前n项和
第 2 讲 等比数列及其前n项和
1. （★★☆☆☆） （2019·湖北宜昌市模拟【理】）
已知数列 是各项均为正数的等比数列，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. （★★☆☆☆）
已知各项均为正数的等比数列 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. （★★☆☆☆） （2018·湖南衡阳县市期中）
已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. （★★★☆☆） （2019·黑龙江哈尔滨市期中）
数列 满足： （ ， 且 ），若数列 是等比数列，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
5. （★★★☆☆） （2018·新疆乌鲁木齐市期中）
已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. （★★★☆☆） （2019·全国III【理】）
已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. （★★★☆☆）
已知 是首项为 的等比数列， 是 的前 项和，且 ，则数列 的前 项和为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
8. （★★★☆☆）
已知正项等比数列 中， ， ，设 为该数列的前 项和， 为数列 的前 项和，若
，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
9. （★★★☆☆）
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏
灯？”意思是：一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍，则塔的顶层共有
灯（ ）
A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏
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第 2 讲 等比数列及其前n项和
10. （★★★☆☆）
已知等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
11. （★★★★☆） （2019·河北邯郸市模拟【文】）
若存在等比数列 ，使得 ，则公比 的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
12. （★★★★☆）
已知 是等比数列， ， ，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
13. （★★★★☆） （2018·广东汕头市期中）
已知递增数列 对任意 均满足 ， ，记 （ ），则数列 的前 项和等
于（ ）
A. B. C. D.
14. （★★★★☆）
已知 为等比数列 的前 项和， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
15. （★★☆☆☆） （2019·福建福州市模拟【文】）
在各项都为正数的等比数列 中，已知 ， ，则数列 的通项公式 1
．
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
16. （★★☆☆☆） （2017·四川成都市期中）
已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 1 ．
17. （★★★☆☆） （2019·宁夏银川市模拟【文】）
若数列 是公比为 的等比数列，且 ，则 1 ．
18. （★★★☆☆） （2019·上海模拟）
已 知 数 列 中 ， ， 等 比 数 列 的 公 比 满 足 （ ） 且 ， 则
1 ．
19. （★★★★☆） （2016·浙江宁波市期中【文】）
已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，等比数列 的首项为 ，公比为 ，其中 ， 都是大于 的正整数，且
， ，对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，则 1 ．
20. （★★★★☆）
已 知 正 项 等 比 数 列 满 足 ．若 存 在 两 项 ， 使 得 ， 则 的 最 小 值 为
1 ．
21. （★★★★☆） （2019·江苏徐州市模拟）
已知数列 的前 项积为 ，若对 ， ，都有 成立，且 ， ，则数列
的前 项和为1 ．
22. （★★★★☆） （2018·山西太原市二模【文】）
数列 中，若 ， ， ， ，则数列 的前 项和 为1 ．
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第 2 讲 等比数列及其前n项和
23. （★★★★☆）
已知数列 是公差不为 的等差数列， 是等比数列，其中 ， ， ， ，若存在常数 ，
对任意正整数 都有 ，则 1 ．
24. （★★☆☆☆）
等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列
（1）求 的公比 ；
（2）若 ，求 ．
25. （★★★☆☆） （2015·四川【文】）
设数列 （ ）的前 项和 满足 ，且 ， ， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 ．
26. （★★★☆☆）
设 是公比为正数的等比数列， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 是首项为 ，公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 ．
27. （★★★☆☆） （2019·江西抚州市期中【理】）
已 知 正 项 数 列 中 ， ，点 在 函 数 的 图 象 上 ， 数 列 中 ， 点 在 直 线
上，其中 是数列 的前 项和（ ）．
（1）求数列 的通项公式．
（2）求数列 的前 项和 ．
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
28. （★★★☆☆） （2019·安徽蚌埠市月考）
已知等比数列 的首项为 ，等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
29. （★★★★☆） （2019·江苏徐州市模拟）
在数列 中， ，且对任意 ， ， ， 成等差数列，其公差为 ．
（1）若 ，求 ， 的值；
（2）若 ，证明 ， ， 成等比数列（ ）；
（3）若对任意 ， ， ， 成等比数列，其公比为 ．设 ，证明数列 是等差数列．
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第 3 讲 求数列通项公式
第 3 讲 求数列通项公式
1. （★★☆☆☆）
已知数列 ： ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. （★★☆☆☆） （2019·贵州黔东南苗族侗族自治州期中）
在数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. （★★★☆☆）
在数列 中，已知 ， （ ），则 （ ）
A. B. C. D.
4. （★★★☆☆） （2018·湖北月考【理】）
已知正项数列 中， ， ， （ ），则 （ ）
A. B. C. D.
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
5. （★★☆☆☆） （2016·贵州遵义市模拟【理】）
已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. （★★☆☆☆）
数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. （★★☆☆☆）
数列 满足 ， （ ），则 （ ）
A. B. C. D.
8. （★★★☆☆） （2018·山东淄博市月考）
在数列 中， ， ，则 为（ ）
A. B. C. D.
9. （★★☆☆☆） （2019·安徽六安市期末【文】）
已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
10. （★★☆☆☆） （2016·湖南模拟【文】）
已知数列 满足 ， ，则 1 ．
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第 3 讲 求数列通项公式
11. （★★★☆☆） （2019·广东佛山市月考）
已知数列 满足递推关系： ， ，则 1 ．
12. （★★★☆☆）
数列 满足 ， 且 （ ），则使得 成立的正整数 1 ．
13. （★★★★☆） （2019·上海宝山区期末）
已知数列 的前 项和 ，则数列 的通项公式为 1 ．
14. （★★★☆☆）
已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为 1 ．
15. （★★★★☆） （2019·黑龙江大庆市期中【理】）
若数列 满足 ， （ ），数列 的通项公式 ，
则数列 的前 项和 1 ．
16. （★★★★☆） （2019·江苏扬州市模拟）
已知在各项都为正数的数列 中， 为数列 的前 项和，且对任意 满足 ．若不等式
对任意正整数 都成立，则整数 的最大值为 1 ．
17. （★★★★☆） （2018·四川乐山市二模【理】）
在首项都为 的数列 ， 中， ， ， ， ，
，则数列 的前 项和为1 ．
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
18. （★★☆☆☆）
如果数列 满足 ， （ ），求 ．
19. （★★★☆☆）
已知数列 是等差数列， 是等比数列， ， ， ， ．
（1）求 和 的通项公式；
2 为奇数（ ）若 为偶数 ，求数列 的前 项和 ．
20. （★★★☆☆）
已知数列 中， ，前 项和 ．
（1）求 ， ；
（2）求 的通项公式．
21. （★★★☆☆）
设数列 前 项和为 ，数列 的 项和为 ，满足 ， ．
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式．
22. （★★★☆☆） （2017·湖北襄阳市中考模拟【文】）
设数列 的前 项和为 ，已知 ， （ ）．
（1）设 ，证明数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式．
23. （★★★☆☆） （2019·广东惠州市模拟【理】）
设数列 的前 项和为 ，且满足 （ ）．
（1）求数列 的通项公式．
（2）是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
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第 3 讲 求数列通项公式
24. （★★★★☆）
已知数列 满足 ， ， ．
（1）若 是递增数列，且 ， ， 成等差数列，求 的值；
（2）若 ，且 是递增数列， 是递减数列，求数列 的通项公式．
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
第 4 讲 数列的求和
1. （★★☆☆☆） （2019·吉林期中）
已知数列 的通项公式是 ，则其前 项和为 （ ）
A. B.
C. D.
2. （★★☆☆☆） （2018·广东台山市期中【理】）
数列 ， ， ， ， 的前 项和为（ ）
A. B.
C. D.
3. （★★★☆☆）
已知函数 ，数列 为等比数列， ，且 ，则
（ ）
A. B. C. D.
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第 4 讲 数列的求和
4. （★★★☆☆） （2018·宁夏银川市月考）
定义 为 个正数 ， ， 的“均倒数”．若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又
，则 （ ）
A. B. C. D.
5. （★★★☆☆） （2019·广东广州市模拟【文】）
数列 满足 ，对任意 ，都有 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. （★★★☆☆）
设 为数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. （★★★★☆） （2012·新课标版【文】）
数列 满足 ，则 的前 项和为 （ ）
A. B. C. D.
8. （★★★☆☆）
已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 1 ．
9. （★★★☆☆）
已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 1 ．
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
10. （★★★☆☆） （2016·江西模拟【文】）
已知 满足 ， （ ）， ，类比课本中推导
等比数列前 项和公式的方法，可求得 1 ．
11. （★★★☆☆） （2019·河南洛阳市模拟【理】）
数列 的首项 ，且 （ ），令 ，则 的前 项的和
1 ．
12. （★★★☆☆） （2019·安徽合肥市模拟【文】）
设等差数列 满足 ， ，则数列 的前 项和等于 1 ．
13. （★★★★☆） （2016·黑龙江牡丹江市月考）
设函数 ， ，数列 满足 （ ），则数列 的
前 项和 等于1 ．
14. （★★★☆☆）
已知函数 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的值．
15. （★★★☆☆）
已知数列 满足 ，且 ，等比数列 中， ， ， ．
（1）证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项的和 ．
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第 4 讲 数列的求和
16. （★★★☆☆） （2019·吉林白山市期末）
在数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）证明：数列 是等差数列．
（2）若 对 恒成立，求 的取值范围．
17. （★★★☆☆） （2015·安徽【文】）
已知数列 是递增的等比数列，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项和， ，求数列 的前 项和 ．
18. （★★★☆☆） （2018·湖北荆州市【理】）
已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ， 是等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，设 ，求数列 的前 项和．
19. （★★★☆☆） （2018·山东泰安市期中）
已知数列 为等比数列， ，公比 ，且 ， ， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式．
（2）设 ， ，求使 的 的值．
20. （★★★☆☆）
已知 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且 ， ， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ， ，求数列 的前 项和．
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
21. （★★★☆☆）
设 为数列 的前 项和，已知 ， ， ．
（1）求 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
22. （★★★★☆） （2019·广东深圳市模拟【理】）
， 是关于 的一元二次方程 ， 的两根，且 ， ，在等差数列
中， ，点 在直线 上．
（1）用 表示 ．
（2）求证：数列 是等比数列，并求 和 ．
（3）已知数列 的前 项和为 ， ，求 的值．
23. （★★★★☆） （2019·湖北荆州市模拟）
已知数列 的前 项和为 ， ， ，在数列 中， 且 ．
（1）求数列 ， 的通项公式．
（2）求数列 前 项中所有奇数项的和 ．
24. （★★★★☆） （2019·江苏南京市模拟）
已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 ，其中 ， ．
（1）求证：数列 为等差数列，并求其通项公式．
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求使 的 的取值范围．
25. （★★★★☆） （2016·安徽合肥市模拟【理】）
设 是数列 （ ）的前 项和， ，且 ， ， ， ．
（1）证明 （ ）；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
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第 5 讲 数列的综合
第 5 讲 数列的综合
1. （★★★☆☆） （2019·重庆南岸区期末）
已 知 定 义 在 上 的 函 数 是 奇 函 数 且 满 足 ， ，数 列 满 足 ， 且
，（其中 为 的前 项和），则 （ ）
A. B. C. D.
2. （★★★☆☆） （2016·江西景德镇市期中）
设 是 定 义 在 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 ， 且 对 于 任 意 的 ， 满 足 ， ，
， ， ．有下列结论：
① ；
② 为偶函数；
③数列 为等差数列；
④数列 为等比数列．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ① ③④ D. ②③④
3. （★★★☆☆） （2018·山西运城市月考）
若数列 中，对任意 ，都有 （ 为常数），则称 为等差比数列．下列对“等差比数列”
的判断：
① 不可能为
②等差数列一定是等差比数列
③等比数列一定是等差比数列
④通项公式为 （ 且 ， ）的数列一定是等差比数列
其中正确的判断为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③ ④ D. ①④
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
4. （★★★☆☆） （2018·河南郑州市月考）
设数列 的前 项和为 ，令 ，称 为数列 ， ， ， 的“理想数”，已知数列 ，
， ， 的“理想数”为 ，那么数列 ， ， ， ， 的“理想数”是 （ ）
A. B. C. D.
5. （★★★☆☆）
对于有限数列 ： ， 为数列 的前 项和，称 为数列 的“平均和”，将
数字 ， ， ， ， ， ， 任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. （★★★☆☆） （2018·浙江嘉兴市期中）
记数列 的前 项和为 ，若存在实数 ，使得对任意的 ，都有 ，则称数列 为“和有界数
列”，下列命题正确的是（ ）
A. 若 是等差数列，且首项 ，则 是“和有界数列”
B. 若 是等差数列，且公差 ，则 是“和有界数列”
C. 若 是等比数列，且公比 ，则 是“和有界数列”
D. 若 是等比数列，且 是“和有界数列”，则 的公比
7. （★★★☆☆） （2018·上海宝山区期末）
定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量
列，这个常向量叫做等差向量列的公差．已知向量列 是以 为首项，公差 的等差向量列．若向
量 与非零向量 （ ）垂直，则 （ ）
A. B. C. D.
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第 5 讲 数列的综合
8. （★★★☆☆）
已 知 函 数 ， 项 数 为 的 等 差 数 列 满 足 ， 且 公 差 ， 若
，则当 1 时， ．
9. （★★★☆☆）
若数列 满足：对任意的 ，只有有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数为 ，则得到一个
新数列 ．例如，若数列 是 ， ， ， ， ，则数列 是 ， ， ， ， 已知对任意
的 ， ，则 1 ， 2 ．
10. （★★☆☆☆）
已知数列 的首项为 ，点 在函数 的图象上．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项之和为 ，求证 ．
11. （★★★☆☆）
设正项数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： （ ）．
12. （★★★★☆） （2019·江苏南通市期中）
已知正项数列 的首项为 ，其前 项和为 ，满足 （ ， ）．
（1）求 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 （ ），数列 的前 项和为 ，求证： ．
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题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
13. （★★★☆☆）
已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： ．
14. （★★★☆☆）
（1）若数列 是公比为 的等比数列，证明：数列 是公比为 的等比数列；（ ，
， ）．
（2）若 ， ．
①求数列 的通项公式．
②证明： ．
15. （★★★☆☆）
已知数列 的前 项和 ，数列 的前 项和 ．
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）设 ，证明：当且仅当 时， ．
16. （★★★★☆） （2018·吉林延吉市期中）
设数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， ， ，求证：数列 的前 项和 ．
17. （★★★★☆） （2015·上海浦东市期中）
在 （ ）个不同数的排列 中，若 时 （即前面某数大于后面某数），则称 与
构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列 的逆序数为 ，如
排列 的逆序数 ，排列 的逆序数 ．
（1）求 ， ，并写出 的表达式；
（2）令 ，证明 ， ， ， ．
- 26 -
第 5 讲 数列的综合
18. （★★★★★）
已知各项均不为 的数列 的前 项和为 ， ．
（1）若 ，数列 是等比数列，且 ，求数列 的通项公式．
（2）已知 ，其中 且 ．
①若 ，数列 是等差数列，求 ；
②若 ，对任意的 ， ，求实数 的取值范围．
19. （★★★★★） （2013·上海【理】）
给定常数 ，定义函数 ．数列 ， ， ， 满足 ， ．
（1）若 ，求 及 ；
（2）求证：对任意 ， ；
（3）是否存在 ，使得 ， ， ， ， 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ；若不存在，说明理由．
20. （★★★★★） （2013·安徽【理】）
设函数 （ ， ），证明：
（1）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；
（2）对于任意 ，由（1）中 构成的数列 满足 ．
- 27 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
参考答案与解析
第 1 讲 等差数列及其前n项和
1 .
答案：C
解答：
，
故选： ．
2 .
答案：B
解答：
设该数列公差为
由已知得
，
故选： ．
3 .
答案：A
解答：
设五个人所分得的面包为
， ， ， ， （其中 ）
则
- 28 -
第 1 讲 等差数列及其前n项和
由 ，得
所以，最小的 份为
故选： ．
4 .
答案：B
解答：
设该数列的公差为
，
故选： ．
5 .
答案：C
解答：
已知等差数列 中，
，则该数列前 项和
故选： ．
6 .
解答：
设四数为 ， ， ， ，则 ，
即 ， 或
当 时，四数为 ， ， ，
当 时，四数为 ， ， ，
- 29 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
7 .
答案：B
解答：
设 的前 项为 ， ， ，则
，解得
由题意可得 ，解得 或
是递增的等差数列
，
故选： ．
8 .
答案：C
解答：
特殊值法，令 ，则 ，又
等差数列 的公差 ，于是
故选： ．
9 .
答案：C
解答：
因 为 ， 所 以 由 等 差 数 列 的 性 质 及 求 和 公 式 可 得
故选： ．
10 .
答案：A
解答：
设公差为
由题意可得， ，解得
- 30 -
第 1 讲 等差数列及其前n项和
所以
故选： ．
11 .
答案：B
解答：
依题意可知 ，解得 ，
故选： ．
12 .
答案：A
解答：
不妨设 ，
由对称性可得： ，
则 ，
， ，
，解得：
的最大值为
故选： ．
- 31 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
13 .
答案：B
解答：
设等差数列 的首项和公差分别为 和
则可得 ，解得 ①
又
②
又 ，
由①可得 ，由②可得
故
而
令 ，可解得
使得 的最小的 为
故选： ．
14 .
答案：B
解答：
， 均为等差数列
由等差数列的性质可得
- 32 -
第 1 讲 等差数列及其前n项和
要使 为整数，则 必为整数
， ， ，即 或 或 时， 为整数
满足条件的正整数 的个数有 个
故选： ．
15 .
答案：C
解答：
当 即 时
则 ，此时
当 即 时
则 ，此时
当 即 时
则 ，此时
当 即 时
则 ，此时
当 时，解得的 不为正整数，即 不为正整数
所以满足题意的正整数 的个数是
故选： ．
16 .
答案：D
解答：
- 33 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
是公差为 的等差数列
，由和差化积公式可得
则 的结果不含
又
， ，故
故选： ．
17 .
答案：
解答：
数列 ， 都是等差数列
设数列 的公差为 ，设数列 的公差为
而 ，可得
故答案为： ．
18 .
答案：
解答：
等差数列 的前 项和等于前 项和，
又
故答案为： ．
- 34 -
第 1 讲 等差数列及其前n项和
19 .
答案：
解答：
由题意得
故答案为： ．
20 .
答案：
解答：
为等差数列
，
故答案为： ．
21 .
答案：
解答：
设从上到下第 节竹子的容积为 升，公差为 升
由题设知
解得 ，
故答案为： ．
22 .
答案：
解答：
数列 和 的通项公式分别为 ，
数列 的公差为 ， 的公差为
它们的公共项组成的新数列 的公差为 ，再由第一个公共项
- 35 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
是首项为 ，公差为 的等差数列
故答案为： ．
23 .
答案：
解答：
令 ， ，则 ，即
又
（当且仅当 时，取“ ”）
故答案为： ．
24 .
答案：
解答：
若 是等差数列，设公差为
（ ）
化简得
上式对任意正整数 恒成立，因此
①若 ，则
②如
当 趋于无穷时，左边为负数，不可能
③如 ，则
解得 ，矛盾
当且仅当 时，数列 是等差数列
故答案为： ．
- 36 -
第 1 讲 等差数列及其前n项和
25 .
答案：
解答：
①
②
① ②得
即
即
由①知 ，由②知
即
故答案为： ．
26 .
答案： 或
解答：
等差数列 的公差为 ，前 项的和为 ，若数列 也是公差为 的等差数列
时，化为：
， 时，
联立解得： ，
或
经检验，均符合题意
故答案为： 或 ．
- 37 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
27 .
解答：
根据题意，三个数成等差数列，其公差为
则设要求的三个数为 ， ，
又这三个数的和为 ，则有
解得
则这三个数为 ， ，
28 .
解答：
（1）设等差数列 的公差为
则
由 ， ，可得 ，解得
从而，
（2）由（1）可知
所以
进而由 ，可得 ，即 ，解得 或
又
故 为所求
29 .
解答：
（1）设 的公差为
由 得 ，即
由 得
于是 ，
因此 的通项公式为
（2）由（1）得 ，故 ，
由 知 ，故 等价于 ，解得
所以 的取值范围是
- 38 -
第 1 讲 等差数列及其前n项和
30 .
解答：
（1） 公差大于零的等差数列 的前 项和为
且满足 ，
， 是方程 的两个实数根，且
解方程 ，得 ，
，解得 ，
（2） ，
当 时， 取最小值
31 .
解答：
（1）设等比数列 的公比为 ，
则
因此数列 是等差数列
又 ，
所以等差数列 的公差
即数列 是以 为公差的等差数列
（2）由（1）知
等差数列 的前 项和为
则
于是当 时， 有最大值，最大值为
- 39 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
第 2 讲 等比数列及其前n项和
1 .
答案：B
解答：
由等比数列的性质得
因为数列 的各项都为正数
所以
由等比数列的性质得
故选： ．
2 .
答案：A
解答：
，
故选： ．
3 .
答案：A
解答：
由
故选： ．
- 40 -
第 2 讲 等比数列及其前n项和
4 .
答案：D
解答：
由 ，得
由于数列 是等比数列
，解得
故选： ．
5 .
答案：B
解答：
依题意，设三角形的三边长分别是 ， ， （ ， ）
当 时，
，即： ，解得：
当 时，
，即： ，解得： 或
的取值范围是：
故选： ．
6 .
答案：C
解答：
设 为数列 的前 项和， （ ）为公比，由题意有
又因为 ，即 ，消去 可得， ，即
解得，
将 代入 ，得
所以
故选： ．
- 41 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
7 .
答案：C
解答：
设 的公比为
显然 ，所以
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列
前 项和
故选： ．
8 .
答案：D
解答：
设等比数列 的公比为 ，
因为 ，
所以 ，
所以
令
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
所以
因为
所以 ，解得
故选：D．
9 .
答案：B
解答：
设这个塔顶层有 盏灯
宝塔一共有七层，每层挂的灯数是上一层的 倍
从塔顶层依次向下每层的灯数是以 为公比、 为首项的等比数列
- 42 -
第 2 讲 等比数列及其前n项和
又总共有灯 盏
，解得 ，则这个塔顶层有 盏灯
故选： ．
10 .
答案：B
解答：
根据题意，等比数列 中，设其公比为
若 ， ，其公比
则 ，
则有
解得 或 (舍)
则
又由
则
故选： ．
11 .
答案：D
解答：
由题数列 的公比为 （ ）
则
整理得
当 时，易知 ，符合题意
当 时，
解得
故 的最大值为
故选： ．
- 43 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
12 .
答案：C
解答：
由 ， ，得到 ，解得
且 ，则
所以
则
则 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
则
当 时， 可取得最小值
所以 的取值范围是
故选： ．
13 .
答案：D
解答：
，讨论
若 ，不合题意
若
若 ，不合题意
即 ， ，
所以
所以 ， ， ，
猜测
经验证满足题意，故
则数列 为首项为 ，公比为 的等比数列
所以数列 的前 项和等于
故选： ．
- 44 -
第 2 讲 等比数列及其前n项和
14 .
答案：B
解答：
设该数列公比为
为等比数列 的前 项和， ，
显然公比
①
②
② ①可得 或 （舍去）
，即
故选： ．
15 .
答案：
解答：
设该数列的公比为
由题得： ，即 ，解得 ，即 （负值舍去）
故
故答案为： ．
16 .
答案：
解答：
正项等比数列 的前 项和为
， ， 成等比数列
即
解得 或 （由正项等比数列可知 应舍去）
故答案为： ．
- 45 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
17 .
答案：
解答：
设数列 的公比为
由题意得
所以
所以
故答案为： ．
18 .
答案：
解答：
所以 ，
所以
故答案为： ．
19 .
答案：
解答：
，
以及
又
即 ，
又 ，由数的整除性，得 是 的约数
故 ，
- 46 -
第 2 讲 等比数列及其前n项和
故答案为： ．
20 .
答案：
解答：
依题意， 是正项等比数列，设公比是 （ ）
或 （舍）
，且 ，
，
，当且仅当 ，即 时等号成立
又
此时 不合题意
当 ， 时，
当 ， 时，
的最小值是
故答案为： ．
21 .
答案：
解答：
数列 的前 项积为 ，若对 ， ，都有 成立
- 47 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
且 ，
则： ，
进一步求出： ，
所以： ， ， ，
故：
故答案为： ．
22 .
答案：
解答：
由 ， ，得
，可得
整理可得： ，即
由 ，可得
那么数列 的通项公式为
则数列 的通项公式为
数列 的前 项和
故答案为： ．
23 .
答案：
解答：
设 的公差为 ， 的公比为
， ， ，
解方程得 或
当 时， ，不符合题意，故舍去
当 时，
，
- 48 -
第 2 讲 等比数列及其前n项和
当 时，
当 时，
，
故答案为： ．
24 .
解答：
（1）依题意有
由于 ，故
又
从而
（2）由已知可得
故
从而
25 .
解答：
（1）由已知 ，有 （ ）
即 （ ）
从而 ，
又因为 ， ， 成等差数列，即
所以
解得：
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
故
（2）由（1）得
所以
- 49 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
26 .
解答：
（1） 是公比为正数的等比数列
设其公比为 ，
，
，解得 或
的通项公式为
（2） 是首项为 ，公差为 的等差数列
数列 的前 项和
27 .
解答：
（1）由题意得：
是以 为首项， 为公差的等差数列
（2）由题意得： ①
当 时，
当 时， ②
① ②得：
是以 为首项， 为公比的等比数列
- 50 -
第 2 讲 等比数列及其前n项和
28 .
解答：
（1）由题意可得， ， ，得
则等比数列 的公比为
所以数列 的通项公式为
设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，解得
所以数列 的通项公式为
综上 ；
（2）由（1）可知，
由 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
其前 项和
29 .
解答：
（1） ，且对任意 ， ， ， 成等差数列，其公差为
，可得 ， ， 成等差数列， ，
（2） ， ， 成等差数列，其公差为
可得
即有 ， ， ，
累加可得
可得 ， ，
则
可得 时， ， ， 成等比数列（ ）
（3）对任意 ， ， ， 成等差数列
可得
对任意 ， ， ， 成等比数列，其公比为
即有 ，
可得
，
- 51 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
即 ，
可得数列 是公差为 的等差数列
- 52 -
第 3 讲 求数列通项公式
第 3 讲 求数列通项公式
1 .
答案：A
解答：
由 得
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列
则 ，
故选： ．
2 .
答案：A
解答：
根据题意，若
则
故选： ．
3 .
答案：C
解答：
已知 ， （ ）
可得
故
又
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
故选： ．
- 53 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
4 .
答案：B
解答：
正项数列 中， ， ， （ ）
数列 为等差数列，首项为 ，公差为
故选： ．
5 .
答案：B
解答：
令 ，得 ，又 ，解得
由 ①，得 ②
② ①得， ，即
为以 为公比，以 为首项的等比数列，则
故选： ．
6 .
答案：B
解答：
当 时，
当 时，
综上可知，
故选： ．
7 .
答案：D
解答：
因为
- 54 -
第 3 讲 求数列通项公式
所以
所以
所以
故选：D．
8 .
答案：C
解答：
由 ，
得
所以
故选： ．
9 .
答案：C
解答：
，
所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列
故选： ．
10 .
答案：
解答：
由于当 时
当 时，上式也成立
所以
- 55 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
故答案为： ．
11 .
答案：
解答：
，
可得
可得
即有
则
故答案为： ．
12 .
答案：
解答：
， 且 （ ）
可得
即有
即有
可得
则
可得 ，即为
解得
故答案为： ．
13 .
答案：
解答：
数列 的前 项和 ,
- 56 -
第 3 讲 求数列通项公式
当 时， ，解得
当 时，
故答案为： ．
14 .
答案：
解答：
当 时 ，
两式相减可得
（ ）
当 时 ， 适合上式
故答案为： ．
15 .
答案：
解答：
因为
所以 ， ， ， ，
当 为偶数时， ，又 ，所以
当 为奇数时， ，又 ，所以
为偶数 为偶数
所以 为奇数 ，即 为奇数
所以
- 57 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
故答案为： ．
16 .
答案：
解答：
各项都为正数的数列 ，其前 项和为
①
时，
解得
当 时， ②
① ②，得：
各项都为正数
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列
，
不等式 对任意正整数 都成立
对任意正整数 都成立
化为 对任意正整数 都成立
满足：
化为： ，且
解得
因此整数 的最大值为
故答案为： ．
- 58 -
第 3 讲 求数列通项公式
17 .
答案：
解答：
由 ，可得：数列 为等差数列
，
公差
，
又 ，且
，又 ，
（ ）时
， 时也成立
（ ）时
综上可得：
则数列 的前 项和
故答案为： ．
18 .
解答：
由题意可得， 是公差为 的等差数列，首项
所以
从而 （ ）
- 59 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
19 .
解答：
（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 （ ）
依题意有， ，解得
故 ，
（2）由已知 ，
所以数列 的前 项和
20 .
解答：
（1）数列 中， ，前 项和
可知 ，得 ，解得
由 ，得 ，解得
（2）由题意知
当 时，有
整理得
于是
将以上 个式子两边分别相乘，整理得：
当 时，满足
综上 的通项公式为
- 60 -
第 3 讲 求数列通项公式
21 .
解答：
（1）当 时，
因为
所以
解得
（2）当 时，
所以 ①
所以 ②
② ①得
所以 （ ）
又 ，
所以
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列
所以
所以 ，
22 .
解答：
（1）由 ，及
得 ，
所以
由 ①
则当 时，有 ②
① ②得
所以
又
所以
所以 是以 为首项、以 为公比的等比数列
（2）由（1）可得 ，等式两边同时除以 ，得
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列
所以
即 （ ）
- 61 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
23 .
解答：
（1）当 时，有 （ ）
整理得：
解得：
又由 （ ）
可得 （ ）
两式相减得
即有
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
则
（2）存在
由上问可知
所以
令
为使 为等差数列
则 是关于 的一次函数
所以
此时
当 时，
当 时，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列
综上
24 .
解答：
（1） 数列 是递增数列
则 化为：
分别令 ， 可得， ，
即 ，
- 62 -
第 3 讲 求数列通项公式
， ， 成等差数列
即
化简得 ，解得 或
当 时，数列 为常数数列，不符合数列 是递增数列
（2）由题意可得，
则 ，
数列 是递增数列，且 是递减数列
，且
则 ，两不等式相加得
即
又
，即
同理可得： ，即
则
当数列 的项数为偶数时，令 （ ）
， ， ， ，
这 个等式相加可得，
则
故
当数列 的项数为奇数时，令 （ ）
， ， ， ，
这 个等式相加可得，
- 63 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
则 ，且当 时 符合
故
为奇数
综上得， 为偶数
- 64 -
第 4 讲 数列的求和
第 4 讲 数列的求和
1 .
答案：B
解答：
数列 的前 项和为：
故选： ．
2 .
答案：B
解答：
因数列 ， ， ， ， ，即为数列 ， ， ， ， ， ，数列的前 项和为
故选： ．
3 .
答案：C
解答：
数列 是等比数列
设
- 65 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
两式相加得
故选： ．
4 .
答案：C
解答：
由已知得
当 时， ，验证知当 时也成立
故选： ．
5 .
答案：C
解答：
根据题意，数列 满足对任意 都有 ，则
则
则
则
故选： ．
6 .
答案：D
解答：
，
- 66 -
第 4 讲 数列的求和
当 时
解得
符合
则
相减可得：
解得
故选： ．
7 .
答案：D
解答：
由于数列 满足 ，故有 ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
从而可得 ， ， ， ， ， ， ，
，
从第一项开始，依次取 个相邻奇数项的和都等于
从第二项开始，依次取 个相邻偶数项的和构成以 为首项，以 为公差的等差数列
所以 的前 项和为
故选： ．
- 67 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
8 .
答案：
解答：
由题意得，
当 为偶数时，
当 为奇数时，
故
故答案为： ．
9 .
答案：
解答：
由题意，
当 为偶数时，
当 为奇数时，
故
故答案为： ．
10 .
答案：
解答：
由题知，
故 ，将两式相加可得
故答案为： ．
11 .
答案：
解答：
- 68 -
第 4 讲 数列的求和
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
故答案为： ．
12 .
答案：
解答：
是等差数列
， ，
即 ，解得
则
数列 的前 项和为
故答案为： ．
13 .
答案：
解答：
函数 ，
，
，
，
又 ，
- 69 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
（ ），
则 （ ）
利用叠乘可得， ，
，
故答案为： ．
14 .
解答：
（1）由题意知，
综上所述，
（2）由题意知
而由（1）知， ，因此有 ，
依次类推
因此
综上所述，
15 .
解答：
（1）因为 ，且 ，等号两边同时除以 ，得
所以数列 是公差为 的等差数列
因为 是等比数列
- 70 -
第 4 讲 数列的求和
所以
又 ，
所以
所以
所以 ，故
所以
（2）由（1）知
所以
16 .
解答：
（1）因为
所以 ，即
又
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列
（2）由（1）可知 ，则
因为
所以
所以
易知 单调递增
则
所以 ，且 ，解得
故 的取值范围为
17 .
解答：
（1）设数列 的公比为
- 71 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
数列 是递增的等比数列，且 ，
，
解得 ， 或 ， （舍）
解得 ，即数列 的通项公式
（2）
数列 的前 项和
18 .
解答：
（1）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为
，
，
易知
①， ②
由② ①得： ，解得
当 时， ；当 时，
或
即 或
综上所述，数列 的通项公式为 或
（2） ，
数列 的前 项和为
- 72 -
第 4 讲 数列的求和
综上所述，数列 的前 项和为
19 .
解答：
（1）由 ， ， 成等差数列，得
又 为等比数列，且
故 ，解得 或
又
（2）因为
故由 ，得
所以 ，又
的取值为 ， ， ， ，
20 .
解答：
（1）设数列 的公比为 ，数列 的公差为 ，由题意，
由已知有 ，消去 整理得：
，解得 ，
数列 的通项公式为 ，
数列 的通项公式为 ，
（2）由（1）有
设 的前 项和为
则
两式作差得：
，
- 73 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
21 .
解答：
（1）令 ，得 ，即
令 ，得
解得
当 时，由 得
两式相减得 ，即
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
，即数列 的通项公式为
（2）由（1）知， ，设数列 的前 项和为
则 ①
②
① ②得，
22 .
解答：
（1）由题意，根据韦达定理得： ，
又 ，即
综上所述，
（2）由 得：
又
为等比数列，其中公比为 ，首项为
为等差数列， ，点 在直线 上
- 74 -
第 4 讲 数列的求和
则
即数列 的首项为 ，公差为
综上所述， 为等比数列， ，
（3）由（2）得：
设 的前 和为
则
又数列 的前 项和为：
23 .
解答：
（1）
，两式相减得
又 ，
是首项为 ，公比为 的等比数列
， （ ）
两式相减得： （ ）
又
由此可得 是首项为 ，公差为 的等差数列，即
是首项为 ，公差为 的等差数列，即
为奇数
所以 为偶数
- 75 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
（2）令 ， 前 项中所有奇数项和为
则
24 .
解答：
（1）由 （ ， ）可得
即 （ ）
又
数列 是首项 ，公差为 的等差数列
通项公式
数列 是等差数列，通项公式
（2）由题（1）知：
数列 的前 项和为
则
两式相减可得
由 可得
即
设 （ ）
则
- 76 -
第 4 讲 数列的求和
在 上单调递减
， ，
当 ， 时 ，当 （ ）时
的取值范围为 且
综上所述， 的取值范围为 且
25 .
解答：
（1）当 时，由已知得
因为
所以 ①
于是 ②
由② ①得： ③
所以 ④
由④ ③得： （ ）
由①得
所以
由③有
所以
所以
所以 （ ）
（2）由（1）可知：数列 和 分别是以 ， 为首项 为公差的等差数列
所以 ，
所以 （ ）
所以 ，
所以
所以
所以
- 77 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
第 5 讲 数列的综合
1 .
答案：C
解答：
函数 是奇函数
是以 为周期的周期函数
数列 满足 ，且
，且
，
故选： ．
2 .
答案：C
解答：
① 取 ，可得
取 ，可得
，即①正确
②
是 上的奇函数．故②不正确
③
以此类推可得 （共 个）
- 78 -
第 5 讲 数列的综合
，故③正确
④ ，故④正确
正确的是①③④
故选： ．
3 .
答案：D
解答：
当 时，则数列成了常数列，则分母也为 ，因为分母不可能为 ，故①正确
当等差数列为常数列时，不满足题设，故②不正确
当等比数列为常数列时，不满足题设，故③不正确
把 （ 且 ， ）代入 ，结果为 ，为常数，故④正确
故选： ．
4 .
答案：D
解答：
根据题意，数列 ， ， ， 的“理想数”为
数列 ， ， ， ， 的“理想数”为
故选： ．
5 .
答案：C
解答：
根据题意可知，将数字 ， ， ， ， ， ， 的排列为 ， ， ， ， ， ， 时，所对应数列的“平均和”最大
此时
- 79 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
故答案为： ．
6 .
答案：C
解答：
．若 是等差数列，且首项 ，若 ， ，当 时， ，则
不是“和有界数列”故 不正确
．若 是等差数列，且公差 ，则 ，当 时，当 时， ，则 不是“和有界
数列”，故 不正确
． 若 是 等 比 数 列 ， 且 公 比 ， 则 ， 故
，则 是“和有界数列”，故 正确
．若 是等比数列，且 是“和有界数列”，则 的公比 或 ，故 不正确
故选： ．
7 .
答案：D
解答：
由题意得
向量 与非零向量 （ ）垂直
，
故选： ．
8 .
答案：
解答：
因为函数 是奇函数
所以图象关于原点对称，图象过原点
- 80 -
第 5 讲 数列的综合
而等差数列 有 项，
若
则必有
所以
故答案为： ．
9 .
答案： ；
解答：
，而
，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ，
猜想：
故答案为： ， ．
10 .
解答：
（1）点 在函数 的图象上，
数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列
（2） ，则
11 .
解答：
（1）由题意得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列
所以
又
- 81 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
所以
所以
当 时，
当 时， 也满足上式
所以数列 的通项公式为
（2）由（1）知
所以
所以
（ ）
当 时，
当 时，
所以当 时，
所以 （ ）
故不等式得证
12 .
解答：
（1）正项数列 的首项为 ，其前 项和为
满足 （ ， ）
可得 ，即
解得
由 ，即
解得
综上， ， 的值分别为 ，
（2）由
得 （ ， ）
解得 （ ， ）
又
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
故
- 82 -
第 5 讲 数列的综合
（3）因为
所以
前 项和为
13 .
解答：
（1）
（ ）
两式相减可得： （ ）
当 时， 是以 为公比的等比数列
时，
又 时， 符合上式
（ ）
（2）令
则
又因为 ， ，
所以从第四项开始放缩，得
即 得证
14 .
解答：
（1） 数列 是公比为 的等比数列
且 ，
数列 是公比为 的等比数列
- 83 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
（2）① ，
数列 是公比为 的等比数列
结合（1）的结论知
数列 是公比为 的等比数列
，
②
15 .
解答：
（1）由于
当 时，
当 也成立，
，
当 得
又当 时，
数列 是等比数列，其首项为 ，公比为
（2）由（1）知
- 84 -
第 5 讲 数列的综合
由 ，得 ，解得
又 时， 恒成立
因此，当且仅当 时，
16 .
解答：
（1）不妨设
即 ，与已知条件式比较系数得 ，
，又
是首项为 ，公比为 的等比数列
，即
（2）由（1）知
当 时
当 时， 也适合上式，所以
故
，
- 85 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
17 .
解答：
（1）由排列 的逆序数 ，排列 的逆序数 ，排列 的逆序数 ，得 ，
所以
（2）因为 ， ， ，
所以
又因为 ， ， ，
所以
综上， ， ， ，
18 .
解答：
（1）设等比数列 的公比为 （ ）
由 ， ，得
，即 ，解得 或
则 或
（2）①由数列 是等差数列，设其公差为
则 ，
于是由 且 ，得
由正整数 的任意性得 ，解得
则
②由 ，得
又 ，所以
于是 ，从而
两式相减得 ，
又 ，
所以
- 86 -
第 5 讲 数列的综合
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列
所以 ，即
于是
因为 且
所以需分两种情况来讨论
（ ）当 时， ，则 的值随 的值的增大而减小
所以 的最大值在 处取得，即
于是 ，又 ，所以
（ ）当 时，由 ， ，得
所以
假设 ，易知 且
得 ，即
所以当 取大于或等于 的正整数时， 不成立，与题设矛盾
所以
综上，当 时， ；当 时，
19 .
解答：
（1）
（2）由已知可得
当 时，
当 时，
当 时，
对任意 ，
- 87 -
题型精练 【圆梦秘籍】一定要刷的数列题
（3）假设存在 ，使得 ， ， ， ， 成等差数列
由（2）及 ，得 ，即 为无穷递增数列
又 为等差数列
所以存在正数 ，当 时， ，从而 ，由于 为等差数列
因此公差
①当 时，则
又 ，故 ，即 ，从而
当 时，由于 为递增数列，故
，而 ，故当 时， 为无穷等差数列，符合要求
②若 ，则 ，又
，得 ，应舍去
③若 ，则由 得到 ，从而 为无穷等差数列，符合要求
综上可知： 的取值范围为
20 .
解答：
（1）对每个 ，当 时，由函数 （ ， ）
可得 ，故函数 在 上是增函数
由于 ，当 时， ，即
又
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的 ，满足
（2）对于任意 ，由（1）中 构成数列 ，当 时
由 在 上单调递增，可得 ，即 ，故数列 为减数列，即对任意的 ， ，
- 88 -
第 5 讲 数列的综合
由于 ①
②
用①减去②并移项，利用 ，可得
综上可得，对于任意 ，由（1）中 构成数列 满足
- 89 -

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