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§6-2　向心力
第2课时　向心力的分析和向心力公式的应用
一、学习目标
1.会分析向心力的，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.
2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点．
二、学习过程
【问题探究】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体．
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？
【答案】 (1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力．
(2)当物体转动的角速度变大后，由Fn＝mω2r，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大．
【知识点1】向心力的大小
Fn＝mω2r或者Fn＝m.或者Fn＝mωv.
例题1、如图所示，一个水平圆盘绕中心竖直轴匀速转动，角速度是，盘面上距圆盘中心的位置有一个质量为的小物体，与圆盘相对静止随圆盘一起转动。小物体与圆盘间的动摩擦因素为，小物体所受摩擦力大小是
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
根据牛顿第二定律得，，故B正确，、、D错误。
故选：。
跟踪训练：如图所示，在光滑杆上穿着两个小球，质量分别为、，有，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转
轴的距离与之比为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
两小球所受的绳子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，
则有： 解得：：：。
故选D。
例题2、质量为的物体做匀速圆周运动，内沿半径为的圆周运动了，求：
物体线速度的大小；
物体所受向心力大小。
【答案】
根据知，
；
由可得向心力。
答：物体线速度的大小为；
物体所受的向心力为。
【解析】
根据求出匀速圆周运动的线速度大小；依据可得向心力。
解决本题的关键掌握线速度、向心力大小的计算公式。
【问题探究】用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做加速圆周运动，如图6所示．
图6
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果．
(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？
【答案】 (1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是
改变线速度的方向．
(2)由于拉力F沿切线方向的分力与v一致，故沙袋的速度增大．
【知识点2】变速圆周运动和一般的曲线运动
1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示．
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小．
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向．
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理．
例题3、如图所示，竖直面内有一半径为的光滑圆轨道，一小球在圆轨道上做圆周运动，通过最低点速度为时，小球对轨道的压力大小为；通过最低点速度为时，小球对轨道的压力大小为。则下列说法正确的是
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
小球在最低点时由重力和支持力提供向心力，则根据向心力公式可得：，，解得：，故B正确，ACD错误。
故选B。
例题4、如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐增大．在此过程中“神舟十一号”所受合力F的方向可能是(　　)
【答案】B
【解析】
做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于速度逐渐增大，故合力F的方向沿切线方向的分力与速度方向相同，B正确，C错误．
跟踪训练：如图所示为蒙晋边界的黄河大峡谷，河水沿着河床做曲线运动。图中，，，四处，受河水冲击最严重的是哪处
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
【答案】
【解析】
在河流弯曲处可看做河水沿着河道做圆周运动，根据运动路径可知，在处的河床要提供做圆周运动的向心力，故B处的河床冲刷最严重。
故选B。
§6-2　向心力（第2课时） 作业
班级： 学号： 姓名：
一、选择题
1． 如图所示，运动员以速度在倾角为的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为，做圆周运动的半径为，重力加速度为，将运动员和自行车看作一个整体，则该整体在运动中
A. 处于平衡状态
B. 做匀变速曲线运动
C. 受到的各个力的合力大小为
D. 受重力、支持力、摩擦力、向心力作用
【答案】
【解析】
、运动员和自行车组成的整体受重力、支持力、摩擦力作用，靠合力提供向心力，合力提供向心力，合力方向始终指向圆心，做变加速曲线运动，故ABD错误；
C、整体做匀速圆周运动，合力提供向心力，则合力，故C正确。
故选：。
2．如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有、两个物体，均与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后、与容器接触面间仍相对静止，下列说法正确的是
A. 两物体受到的摩擦力都增大
B. 两物体受到的摩擦力大小都不变
C. 物体受到的摩擦力增大，物体受到的摩擦力大小不变
D. 物体到的摩擦力大小不变，物体受到的摩擦力增大
【答案】
【解析】
容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供做圆周运动的向心力；在坚直方向，重力和静擦力平衡，所以当转速增大后，物体受到的摩擦力大小的保持不变；
以为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由得，其受到的擦力随着
转速的增大而增大，故ABC错误D正确。
故选D。
3．如图所示是游乐场里的过山车，过山车运动过程中经过，两点
A. 在点时对轨道压力较小 B. 在点时所受摩擦力较大
C. 在点时所受向心力较大 D. 在点时合外力方向竖直向下
【答案】
【解析】
在点有向上的向心加速度，物体处于超重状态，对轨道压力较大，根据，，可知摩擦力也较大，A错误B正确；
C.从到，摩擦力和重力都做负功，物体动能减少速度减少，由图可知半径变大，根据向心力公式，可知点所受向心力较小，C错误；
D.过山车不是匀速圆周运动，故B点合外力不是竖直向下，D错误；
故选B．
4．如图所示，长为的轻杆，一端固定一个质量为的小球，另一端固定在水平转轴上，杆绕转轴在竖直平面内匀速转动，角速度为，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角满足
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】
如图：；
小球所受重力和杆子的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：，解得：；故A正确，BCD错误。
故选A。
5．如图所示，质量可以不计的细杆的一端固定着一个质量为的小球，另一端能绕光滑的水平轴转动，让小球在竖直平面内绕轴做半径为的圆周运动，小球通过最高点时的线速度大小为。下列说法中不正确的是：
A. 不能小于
B. 时，小球与细杆之间无弹力作用
C. 大于时，小球与细杆之间的弹力随增大而增大
D. 小于时，小球与细杆之间的弹力随减小而增大
【答案】
【解析】
A.由于杆能支撑小球，所以小球通过最高点时最小速度为零，故A错误。
B.当时，根据牛顿第二定律得，解得，说明小球与细杆之间无弹力作用。故B正确。
C.当大于时，杆对小球有向下的拉力，根据牛顿第二定律得，可知增大时，增大，故C正确。
D.当小于时，杆对小球有向上的支持力，根据牛顿第二定律得，可知减小时，增大，故D正确。
故选A。
6．两根长度不同的轻质细线下端分别悬挂两个小球，，细线上端固定在同一点，若两个小球绕共同的竖直轴在同一水平面内做同向的匀速圆周运动，球的轨道半径是的一半，
不计空气阻力．则两个摆球在运动过程中
A. 两球的角速度相等
B. 两球的速度大小相等
C. 两球的加速度大小相等
D. 球，的向心力大小之比为
【答案】
【解析】
A.对任一小球研究．设细线与竖直方向的夹角为，则小球所受合力的大小为，根据牛顿第二定律得：， 得
两小球相等，所以角速度相等，故A正确；
B.根据可知两球的线速度不相同，故B错误。
C.根据可知两球的加速度大小不相等，故C错误；
D.根据得知角速度相等、时质量大小不确定，所以无法判断向心力大小，故D错误。
故选A。
7．一小球质量为，用长为的悬绳不可伸长，质量不计固定于点，在点正下方处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，下列错误的是
A. 小球线速度没有变化
B. 小球的角速度突然增大到原来的倍
C. 小球的向心加速度突然增大到原来的倍
D. 悬线对小球的拉力突然增大到原来的倍
【答案】
【解析】
、把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子的前后瞬间，由于绳子拉力与重力都与速度垂直，所以不改变速度大小，即线速度大小不变，而半径变为原来的一半，根据，则角速度增大到原来的倍。故A、B正确。
C、当悬线碰到钉子后，半径是原来的一半，线速度大小不变，则由分析可知，向心加速度突然增加为碰钉前的倍。故C正确。
D、根据牛顿第二定律得：悬线碰到钉子前瞬间：得，；悬线碰到钉子后瞬间：，得由数学知识知：故D错误。
本题选错误的，故选D。
8．如图所示，质量为的木块从半径为的固定半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，由于摩擦力的作用使得木块做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
A. 木块下滑过程中的加速度不变
B. 木块下滑过程中受到的合力大小不变
C. 木块下滑过程中受到的摩擦力大小不变
D. 木块下滑过程中受到的支持力大小不变
【答案】
【解析】
A.木块做匀速圆周运动，加速度的大小不变，方向始终指向圆心，故A错误；
B.木块做匀速圆周运动，所受的合力大小不变，方向始终指向圆心，故B正确；
木块在半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，由于切线方向的合力为零，指向圆心方向的合力提供向心力，受力如图所示，设木块经过的位置碗的切线方向与水平方向的夹角为，木块的速率为，碗对木块的支持力大小为，则有，可知下滑过程中支持力变化，由于切线方向的合力为零，则摩擦力在变化，故CD错误。
故选B。
9．如图所示，在室内自行车比赛中，运动员以速度在倾角为的赛道上做匀速圆周运动．已
知运动员的质量为，做圆周运动的半径为，重力加速度为，则下列说法正确的是
A. 运动员做圆周运动的角速度为
B. 如果运动员减速，运动员将做离心运动
C. 运动员做匀速圆周运动的向心力大小是
D. 将运动员和自行车看成一个整体，则整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
【答案】
【解析】
A.由可知运动员做圆周运动的角速度为，故A错误；
B.如果运动员减速，所需要的向心力变小，运动员将做近心运动，故B错误；
C.运动员做匀速圆周运动的向心力大小为，故C正确；
D.向心力是一个效果力，受力分析时，不分析向心力，故D错误。
故选C。
二、非选择题
10．如图所示，一端固定的轻绳拉着一个质量为千克的小球，小球在光滑水平桌面上做半径为的匀速圆周运动，每秒转过，求
小球的周期。
轻绳对小球的拉力大小。
小球从任一位置开始，内的平均加速度大小。
【答案】小球的角速度
小球转动的周期
小球在光滑水平桌面上匀速圆周运动，绳子的拉力提供向心力，结合牛顿第二定律可得：
小球的线速度
内小球转过半周，速度方向改变度，故平均加速度
【解析】本题涉及匀速圆周运动的相关知识，属于基础问题的考查。
利用角速度的定义求出角速度，再利用计算周期；
绳子的拉力提供向心力，结合牛顿第二定律求解；
内小球转过半周，速度方向改变度，利用计算加速度。
11．长为的细线，拴一质量为的小球看作质点，一端固定于点，让其在水平面内做匀速圆周运动这种运动通常称为圆锥摆运动，如图所示，当摆线与竖直方向的夹角为时，取；求：
线的拉力；
小球运动的线速度的大小；
小球运动的角速度。
【答案】 小球受重力和拉力作用，两个力的合力提供向心力，根据合成法
根据牛顿第二定律得，，又
解得
小球的角速度
【解析】小球在重力和拉力合力作用下做圆周运动，靠两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出拉力、角速度、线速度和周期的大小。
解决本题的关键搞清小球做圆周运动向心力的，运用牛顿第二定律进行求解。
12．如图所示，小球通过细线绕圆心在足够大的光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量，线速度大小，细线长。求：
小球的角速度大小；
小球运动一周的时间；
小球所受的向心力大小；
若某一时刻细线突然断了，分析小球的具体运动特点。
【答案】 根据，解得小球的角速度大小为：
根据，解得小球运动一周的时间为：
根据向心力公式，可知小球的向心力为：
若某一时刻细线突然断了，小球在水平方向上不受力，沿细线断开时的切线方向做匀速直线运动。
答：小球的角速度大小为；
小球运动一周的时间为；
小球所受的向心力大；
若某一时刻细线突然断开，小球在水平面上沿切线方向做匀速直线运动。
【解析】根据，求解小球的角速度大小；
根据，解得小球运动一周的时间；
根据向心力公式，求得小球的向心力大小；
若某一时刻细线突然断开，小球在水平方向上不受力，沿细线断开时的速度方向做匀速直线运动§6-2　向心力
第2课时　向心力的分析和向心力公式的应用
一、学习目标
1.会分析向心力的，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.
2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点．
二、学习过程
【问题探究】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体．
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？
【知识点1】向心力的大小
Fn＝mω2r或者Fn＝m.或者Fn＝mωv.
例题1、如图所示，一个水平圆盘绕中心竖直轴匀速转动，角速度是，盘面上距圆盘中心的位置有一个质量为的小物体，与圆盘相对静止随圆盘一起转动。小物体与圆盘间的动摩擦因素为，小物体所受摩擦力大小是
A. B. C. D.
跟踪训练：如图所示，在光滑杆上穿着两个小球，质量分别为、，有，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离与之比为
A. B. C. D.
例题2、质量为的物体做匀速圆周运动，内沿半径为的圆周运动了，求：
物体线速度的大小；
物体所受向心力大小。
【问题探究】用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做加速圆周运动，如图6所示．
图6
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果．
(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？
【知识点2】变速圆周运动和一般的曲线运动
1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示．
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小．
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向．
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理．
例题3、如图所示，竖直面内有一半径为的光滑圆轨道，一小球在圆轨道上做圆周运动，
通过最低点速度为时，小球对轨道的压力大小为；通过最低点速度为时，小球对轨道的压力大小为。则下列说法正确的是
A. B. C. D.
例题4、如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐增大．在此过程中“神舟十一号”所受合力F的方向可能是(　　)
跟踪训练：如图所示为蒙晋边界的黄河大峡谷，河水沿着河床做曲线运动。图中，，，四处，受河水冲击最严重的是哪处
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
§6-2　向心力（第2课时） 作业
班级： 学号： 姓名：
一、选择题
1． 如图所示，运动员以速度在倾角为的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为，做圆周运动的半径为，重力加速度为，将运动员和自行车看作一个整体，
则该整体在运动中
A. 处于平衡状态
B. 做匀变速曲线运动
C. 受到的各个力的合力大小为
D. 受重力、支持力、摩擦力、向心力作用
2．如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有、两个物体，均与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后、与容器接触面间仍相对静止，下列说法正确的是
A. 两物体受到的摩擦力都增大
B. 两物体受到的摩擦力大小都不变
C. 物体受到的摩擦力增大，物体受到的摩擦力大小不变
D. 物体到的摩擦力大小不变，物体受到的摩擦力增大
3．如图所示是游乐场里的过山车，过山车运动过程中经过，两点
A. 在点时对轨道压力较小 B. 在点时所受摩擦力较大
C. 在点时所受向心力较大 D. 在点时合外力方向竖直向下
4．如图所示，长为的轻杆，一端固定一个质量为的小球，另一端固定在水平转轴上，杆绕转轴在竖直平面内匀速转动，角速度为，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角满足
A.
B.
C.
D.
5．如图所示，质量可以不计的细杆的一端固定着一个质量为的小球，另一端能绕光滑的水平轴转动，让小球在竖直平面内绕轴做半径为的圆周运动，小球通过最高点时的线速度大小为。下列说法中不正确的是：
A. 不能小于
B. 时，小球与细杆之间无弹力作用
C. 大于时，小球与细杆之间的弹力随增大而增大
D. 小于时，小球与细杆之间的弹力随减小而增大
6．两根长度不同的轻质细线下端分别悬挂两个小球，，细线上端固定在同一点，若两个小球绕共同的竖直轴在同一水平面内做同向的匀速圆周运动，球的轨道半径是的一半，不计空气阻力．则两个摆球在运动过程中
A. 两球的角速度相等
B. 两球的速度大小相等
C. 两球的加速度大小相等
D. 球，的向心力大小之比为
7．一小球质量为，用长为的悬绳不可伸长，质量不计固定于点，在点正下方
处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，下列错误的是
A. 小球线速度没有变化
B. 小球的角速度突然增大到原来的倍
C. 小球的向心加速度突然增大到原来的倍
D. 悬线对小球的拉力突然增大到原来的倍
8．如图所示，质量为的木块从半径为的固定半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，由于摩擦力的作用使得木块做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
A. 木块下滑过程中的加速度不变
B. 木块下滑过程中受到的合力大小不变
C. 木块下滑过程中受到的摩擦力大小不变
D. 木块下滑过程中受到的支持力大小不变
9．如图所示，在室内自行车比赛中，运动员以速度在倾角为的赛道上做匀速圆周运动．已知运动员的质量为，做圆周运动的半径为，重力加速度为，则下列说法正确的是
A. 运动员做圆周运动的角速度为
B. 如果运动员减速，运动员将做离心运动
C. 运动员做匀速圆周运动的向心力大小是
D. 将运动员和自行车看成一个整体，则整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
二、非选择题
10．如图所示，一端固定的轻绳拉着一个质量为千克的小球，小球在光滑水平桌面上做半径为的匀速圆周运动，每秒转过，求
小球的周期。
轻绳对小球的拉力大小。
小球从任一位置开始，内的平均加速度大小。
11．长为的细线，拴一质量为的小球看作质点，一端固定于点，让其在水平面内做匀速圆周运动这种运动通常称为圆锥摆运动，如图所示，当摆线与竖直方向的夹角为时，取；求：
线的拉力；
小球运动的线速度的大小；
小球运动的角速度。
12．如图所示，小球通过细线绕圆心在足够大的光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量，线速度大小，细线长。求：
小球的角速度大小；
小球运动一周的时间；
小球所受的向心力大小；
若某一时刻细线突然断了，分析小球的具体运动特点。

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