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§6-3　向心加速度
一、学习目标
1.理解向心加速度的概念.
2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.
3.能够运用向心加速度公式求解有关问题．
二、学习过程
【问题探究】如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
【知识点1】匀速圆周运动的加速度方向
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
3．物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向圆心，方向在时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．
例题1、下列关于向心加速度的说法中正确的是
A. 向心加速度的方向始终指向圆心
B. 向心加速度的方向保持不变
C. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D. 在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
跟踪训练：小球做匀速圆周运动，关于小球运动到点时的加速度方向，下列图中可能正确的是
A. B.
C. D.
【问题探究】如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
【知识点2】匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度公式
an＝或an＝ω2r.
2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
例题2、在光滑的水平面上，质量为的小球在细绳拉力作用下，以速度做半径为的匀速圆周运动．小球所受拉力大小和向心加速度大小分别是
A. B. C. D.
例题3、在长的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小为的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度和向心加速度分别多大
【知识点3】圆周运动的动力学问题分析
例题4、如图所示，质量为的小球用长为的悬绳固定于点，在点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为多少？
§6-3　向心加速度 作业
班级： 学号： 姓名：
一、选择题
1．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法不正确的是
A. 向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量
B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C. 向心加速度恒定
D. 向心加速度的方向时刻发生变化
2．一只质量为的老鹰，以速率在水平面内做半径为的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是
A. 大小为 B. 大小为
C. 方向在水平面内 D. 方向在竖直面内
3．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为的匀速圆周运动，向心加速度为，那么下列说法错误的是
A. 小球运动的角速度大小为
B. 小球在时间内通过的路程为
C. 小球做匀速圆周运动的周期
D. 小球在时间内可能发生的最大位移为
4．某变速箱中有甲、乙，丙三个齿轮，如下图所示，其半径分别为、、，若甲轮的角速度为，则丙轮边缘上某点的向心加速度大小为
A. B. C. D.
5．A、两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动如图，在相同时间内，它们通过的路程之比是：，运动方向改变的角度之比是：，则它们
A. 线速度大小之比为： B. 角速度大小之比为：
C. 圆周运动的半径之比为： D. 向心加速度大小之比为：
6．如图所示，在光滑水平面上，轻弹簧的一端固定在竖直转轴上，另一端连接质量为的小球，轻弹簧的劲度系数为，原长为，小球以角速度绕竖直转轴做匀速圆周运动。则小球运动的向心加速度为
A. B. C. D.
7．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达，此时纽扣上距离中心处的点向心加速度大小约为
A. B. C. D.
8．如图所示，质量为的小球用长为的悬线固定于点，在点正下方处钉一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，则
A. 小球的线速度突然变大
B. 小球的向心加速度突然变小
C. 小球的角速度突然变大
D. 悬线的张力突然变小
9．如图所示，小球用细绳悬挂于点，在点正下方有一固定的钉子，把小球拉到水平位置后无初速释放，当细线转到竖直位置时有一定大小的速度，与钉子相碰的前后瞬间，下列说法正确的为
A. 小球的速度变大
B. 小球的向心加速度不变
C. 小球的向心加速度突然变大
D. 绳中张力不变
二、非选择题
10．月球绕地球公转的轨道接近圆，半径为，公转周期是。月球绕地球公转的向心加速度是多大？
11．如图所示，质量为的小孩静止坐在秋千板上时，小孩离拴绳子的横梁如果秋千板摆到最低点时，速度为，取求：
此时小孩运动的向心加速度的大小；
此时秋千板对小孩支持力的大小。
12．如图所示，圆弧轨道是在竖直平面内的圆周，半径为，在点轨道的切线是水平的。在圆弧轨道的下面有一半径为的水平圆盘，绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，一小球可看成质点从圆弧轨道上某处下滑，达到点时速度为此时速度方向恰与平行。求：
小球到达点时的向心加速度大小；
要使小球刚好落在圆盘的边缘上，间的距离；
要使小球刚好落在点，圆盘转动的角速度。§6-3　向心加速度
一、学习目标
1.理解向心加速度的概念.
2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.
3.能够运用向心加速度公式求解有关问题．
二、学习过程
【问题探究】如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
【答案】　(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心．小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心．
(2)由于加速度的方向指向圆心，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的．匀速圆周运动是一种变加速曲线运动．
【知识点1】匀速圆周运动的加速度方向
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
3．物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向圆心，方向在时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．
例题1、下列关于向心加速度的说法中正确的是
A. 向心加速度的方向始终指向圆心
B. 向心加速度的方向保持不变
C. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D. 在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
【答案】
【解析】
向心加速度的方向始终指向圆心，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小只是改变线速
度的方向，在匀速圆周运动中，由于加速度是矢量，因此向心加速度方向是时刻变化的，向心加速度的大小不变，故BCD错误，A正确。
故选A。
跟踪训练：小球做匀速圆周运动，关于小球运动到点时的加速度方向，下列图中可能正确的是
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】
小球做圆周运动，运动到题图所示的点时，所受的合力可分解为沿径向方向的力和沿切向方向的力，即点的加速度也可分解为沿指向圆心的向心加速度和垂直于的切向加速度，并且指向圆心的向心加速度不为零，当小球做匀速圆周运动时，切向加速度为零，故D正确，、、C错误．
故选D。
【问题探究】如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
【答案】　(1)A、B两个点的线速度相同，向心加速度与半径成反比．
(2)B、C两个点的角速度相同，向心加速度与半径成正比．
【知识点2】匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度公式
an＝或an＝ω2r.
2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
例题2、在光滑的水平面上，质量为的小球在细绳拉力作用下，以速度做半径为的匀速圆周运动．小球所受拉力大小和向心加速度大小分别是
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
小球所受拉力提供向心力，所以小球所受拉力大小，
向心加速度大小。
故D正确，ABC错误。
故选D。
例题3、在长的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小为的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度和向心加速度分别多大
【答案】
小球做匀速圆周运动
根据
得
向心加速度公式
【解析】
根据已知条件，小球做匀速圆周运动，根据线速度公式求解角速度；根据向心加速度公式求解向心加速度；
【知识点3】圆周运动的动力学问题分析
例题4、如图所示，质量为的小球用长为的悬绳固定于点，在点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为多少？
【答案】
在悬绳碰到钉子的前后瞬间，速度不变，做圆周运动的半径从变为，
则根据加速度公式，
即为：，
，
解得：悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为：。
答：悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为：。
【解析】
由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，线速度大小不变，而摆长变化，从而导致角速度、向心加速度、拉力的变化．
§6-3　向心加速度 作业
班级： 学号： 姓名：
一、选择题
1．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法不正确的是
A. 向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量
B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C. 向心加速度恒定
D. 向心加速度的方向时刻发生变化
【答案】
【解析】
、向心加速度只改变速度的方向，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量．故A正确；
B、向心加速度的方向与速度的方向始终垂直，所以向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．故B正确；
、向心力加速度大小，由于的大小不变，故向心加速度的大小不变．但向心加速度的方向始终指向圆心，所以加速度方向时刻改变，故C错误，D正确．
故选：
2．一只质量为的老鹰，以速率在水平面内做半径为的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是
A. 大小为 B. 大小为
C. 方向在水平面内 D. 方向在竖直面内
【答案】
【解析】
根据向心加速度的计算公式：，故A，B错误；
老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，合力指向圆心，老鹰受到的重力和空气对它的作用力的合力提供向心力，则向心加速度的方向在水平面内，故C正确，D错误。
故选C。
3．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为的匀速圆周运动，向心加速度为，那么下列说法错误的是
A. 小球运动的角速度大小为
B. 小球在时间内通过的路程为
C. 小球做匀速圆周运动的周期
D. 小球在时间内可能发生的最大位移为
【答案】
【解析】
A.由，得，故A正确；
B.由得：，路程，故B正确；
C.由得：，故C错误；
D.小球在时间内可能发生的最大位移为圆的直径，即为，故D正确。
本题选错误的，故选C。
4．某变速箱中有甲、乙，丙三个齿轮，如下图所示，其半径分别为、、，若甲轮的角速度为，则丙轮边缘上某点的向心加速度大小为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
由题意可得甲丙的线速度大小相等，根据知甲丙的向心加速度之比为，甲的向心加速度，则，故A正确，故BCD错误。
故选A。
5．A、两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动如图，在相同时间内，它们通过的路程之比是：，运动方向改变的角度之比是：，则它们
A. 线速度大小之比为： B. 角速度大小之比为：
C. 圆周运动的半径之比为： D. 向心加速度大小之比为：
【答案】
【解析】
A、根据线速度定义式，已知在相同时间内它们通过的路程之比是：，则线速度大小之比为：，故A错误；
B、根据角速度定义式，运动方向改变的角度等于圆周运动转过的角度，相同时间内它们转过角度之比为：，则角速度之比为：，故B错误；
C、根据公式，可得圆周运动半径，线速度之比为：，角速度之比为：，则圆周运动的半径之比为：，故C错误；
D、根据向心加速度公式，结合线速度之比为：，角速度之比为：，则向心加速度之比为：，故D正确。
6．如图所示，在光滑水平面上，轻弹簧的一端固定在竖直转轴上，另一端连接质量为的小球，轻弹簧的劲度系数为，原长为，小球以角速度绕竖直转轴做匀速圆周运动。则小球运动的向心加速度为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
设弹簧的伸长量为，由于弹簧弹力提供向心力，由牛顿第二定律：，解得，故向心加速度，故B正确，ACD错误。
故选B。
7．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达，此时纽扣上距离中心处的点向心加速度大小约为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
根据匀速圆周运动的规律，，，向心加速度为： ，接近，故C正确，ABD错误。
故选：。
8．如图所示，质量为的小球用长为的悬线固定于点，在点正下方处钉一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，则
A. 小球的线速度突然变大
B. 小球的向心加速度突然变小
C. 小球的角速度突然变大
D. 悬线的张力突然变小
【答案】
【解析】
A.当悬线碰到钉子时，线速度大小不变，故A错误；
B.当悬线碰到钉子时，线速度大小不变，摆长变小，即半径变小，根据知，向心加速度变大，故B错误；
C.线速度大小不变，摆长变小，根据知，角速度变大，故C正确；
D.根据牛顿第二定律得，，向心加速度变大，则悬线的张力变大，故D错误。
故选C。
9．如图所示，小球用细绳悬挂于点，在点正下方有一固定的钉子
，把小球拉到水平位置后无初速释放，当细线转到竖直位置时有一定大小的速度，与钉子相碰的前后瞬间，下列说法正确的为
A. 小球的速度变大
B. 小球的向心加速度不变
C. 小球的向心加速度突然变大
D. 绳中张力不变
【答案】
【解析】
、在绳与钉子相碰瞬间，绳子的拉力和重力方向都与小球的速度方向垂直，不对小球做功，不改变小球的动能，则小球的线速度大小不变，故A错误；
、由向心加速度公式分析得到，变小，不变，则向心加速度增大，故B错误，C正确；
D、根据牛顿第二定律得：，，增大，则绳子张力增大，故D错误。
故选：。
二、非选择题
10．月球绕地球公转的轨道接近圆，半径为，公转周期是。月球绕地球公转的向心加速度是多大？
【答案】
月球公转周期
，
月球公转的向心加速度
。
【解析】
月球的公转周期为天，轨道半径等于月地距离，月球绕地球做匀速圆周运动，由求出月球的向心加速度。
11．如图所示，质量为的小孩静止坐在秋千板上时，小孩离拴绳子的横梁如果秋千板摆到最低点时，速度为，取求：
此时小孩运动的向心加速度的大小；
此时秋千板对小孩支持力的大小。
【答案】
小孩在最低处：
解得：
在最低点对小孩受力分析，支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：

代入数据解得：
【解析】
秋千板摆动时，小孩做圆周运动，经过最低点时的加速度即为向心加速度，根据向心加速度公式求出加速度。
以小孩为研究对象，分析受力：在最低点时，小孩受到重力和板的支持力，由两个力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求解支持力的大小。
12．如图所示，圆弧轨道是在竖直平面内的圆周，半径为，在点轨道的切线是水平的。在圆弧轨道的下面有一半径为的水平圆盘，绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，一小球可看成质点从圆弧轨道上某处下滑，达到点时速度为此时速度方向恰与平行。求：
小球到达点时的向心加速度大小；
要使小球刚好落在圆盘的边缘上，间的距离；
要使小球刚好落在点，圆盘转动的角速度。
【答案】
由向心加速度公式有：
球从点起做平抛运动，设飞行时间为
水平方向有：
竖直方向有：
由以上两式：
由，得
圆板转动的周期，球刚好落在点应满足的条件是：
由以上三式可得，、、
【解析】
题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两种不同运动规律在解决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。

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